基礎問題集
数学2 式と証明「恒等式」の問題6 解説
数学2の式と証明「恒等式」にある問題6の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
4次式が整式の平方になるなら、その整式は2次式である。
したがって
$$ x^4-4x^3+ax^2-x+b=(x^2+px+q)^2 $$
とおいて係数を比較すればよい。
解法1
2次式の平方を展開すると、
$$ (x^2+px+q)^2=x^4+2px^3+(p^2+2q)x^2+2pq\,x+q^2 $$
である。
これが
$$ x^4-4x^3+ax^2-x+b $$
に一致するので、係数比較より
$$ 2p=-4,\qquad p^2+2q=a,\qquad 2pq=-1,\qquad q^2=b $$
を得る。
まず
$$ 2p=-4 $$
より
$$ p=-2 $$
である。
これを
$$ 2pq=-1 $$
に代入すると、
$$ 2(-2)q=-1 $$
すなわち
$$ -4q=-1 $$
より
$$ q=\frac14 $$
となる。
したがって
$$ a=p^2+2q=4+2\cdot\frac14=4+\frac12=\frac92 $$
また
$$ b=q^2=\left(\frac14\right)^2=\frac1{16} $$
である。
解説
「4次式が整式の平方である」という条件から、平方のもとになる整式は2次式に限られる。この見通しが立てば、一般形 $(x^2+px+q)^2$ を置いて係数比較するだけである。
特に、$x^3$ の係数から $p$ がすぐ決まり、$x$ の係数から $q$ も一意に定まるので、$a,b$ も自動的に決まる。
答え
$$ a=\frac92,\qquad b=\frac1{16} $$
である。