解説

方針・初手

まず $g(x)$ の次数を $n$ とおく。

与えられた式

$$ g(x^2)={g(x)-ax-b}(x^2-x+2) $$

の両辺の次数を比べると、$g(x)$ の次数がかなり強く制限される。先に次数を確定し、その後 $g(x)$ を具体的に

$$ g(x)=x^2+px+q $$

とおいて係数比較を行うのが最も素直である。

解法1

$g(x)$ は最高次係数が $1$ の整式であるから、$\deg g(x)=n$ とすると

$$ \deg g(x^2)=2n $$

である。

一方、$\deg g(x)\ge 2$ ならば $\deg{g(x)-ax-b}=n$ であるから、右辺の次数は

$$ n+2 $$

となる。したがって

$$ 2n=n+2 $$

より

$$ n=2 $$

である。

なお、$n=1$ の可能性も一応確認すると、$g(x)=x+c$ と書けるが、これを与式に代入して係数比較すると矛盾するので不適である。よって $\deg g(x)=2$ で確定する。

そこで

$$ g(x)=x^2+px+q $$

とおく。すると

$$ g(x^2)=x^4+px^2+q $$

であり、また

$$ g(x)-ax-b=x^2+(p-a)x+(q-b) $$

である。よって与式は

$$ x^4+px^2+q={x^2+(p-a)x+(q-b)}(x^2-x+2) $$

となる。

右辺を展開すると

$$ \begin{aligned} &{x^2+(p-a)x+(q-b)}(x^2-x+2) \\ ={}& x^4+(p-a-1)x^3+{(q-b)-(p-a)+2}x^2 \\ &\quad +{-(q-b)+2(p-a)}x+2(q-b) \end{aligned} $$

したがって

$$ x^4+px^2+q $$

と係数比較して、

$$ p-a-1=0 $$

$$ -(q-b)+2(p-a)=0 $$

$$ 2(q-b)=q $$

$$ (q-b)-(p-a)+2=p $$

を得る。

まず

$$ p-a=1 $$

である。

これを $x$ の係数の式に代入すると

$$ -(q-b)+2=0 $$

より

$$ q-b=2 $$

となる。

さらに定数項の式より

$$ 2(q-b)=q $$

だから

$$ 2\cdot 2=q $$

すなわち

$$ q=4 $$

である。したがって

$$ b=2 $$

となる。

最後に $x^2$ の係数比較より

$$ (q-b)-(p-a)+2=p $$

に $q-b=2,\ p-a=1$ を代入して

$$ 2-1+2=p $$

ゆえに

$$ p=3 $$

である。したがって

$$ a=2 $$

となる。

以上より

$$ g(x)=x^2+3x+4 $$

であり、求める次数は $2$、$a=2,\ b=2$ である。

解説

この問題の本質は、いきなり係数を追う前に次数を確定することである。

$g(x^2)$ の次数は通常 $\deg g$ の $2$ 倍になる一方、右辺は $(x^2-x+2)$ を掛けているので次数は「$\deg g+2$」になる。ここから

$$ 2n=n+2 $$

が出て、次数が $2$ に一気に絞られる。

次数が分かれば二次式としておいて係数比較するだけであり、計算も素直に進む。最初に次数を見るのが典型的な初手である。

答え

$g(x)$ の次数は $2$ である。

また、

$$ a=2,\quad b=2 $$

であり、

$$ g(x)=x^2+3x+4 $$

である。