解説

方針・初手

与えられた等式は、多項式どうしの恒等式である。したがって、まず両辺の次数を比較すれば $f(x)$ の次数が強く制限される。

次数が分かったら、$f(x)=ax^2+bx+c$ とおいて係数比較を行えばよい。

解法1

$f(x)$ の次数を $n$ とする。

まず、$f(x)$ が定数であることはない。実際、$f(x)$ が定数なら $f'(x)=0$ であるから左辺は $0$ になるが、右辺には $x^2$ の項があるので恒等的に $0$ にはならない。

よって $n\geqq 1$ である。

このとき

$$ \deg f'(x)=n-1,\qquad \deg \left(f(x)-\frac12\right)=n $$

であるから、左辺の次数は

$$ \deg\left(f'(x)\left(f(x)-\frac12\right)\right)=(n-1)+n=2n-1 $$

となる。

一方、右辺

$$ 2x f(x)+x^2+\frac52 $$

の次数は、$n\geqq 1$ より $\deg(2x f(x))=n+1$ であるから、全体の次数は $n+1$ である。ただし $n=1$ のときでも右辺には $x^2$ の項が残るので次数は $2$ である。

したがって恒等式より

$$ 2n-1=n+1 $$

が必要であるから、

$$ n=2 $$

となる。

以上より、$f(x)$ の次数は $2$ である。

次に

$$ f(x)=ax^2+bx+c \qquad (a\neq 0) $$

とおくと、

$$ f'(x)=2ax+b $$

である。

これを与式

$$ f'(x)\left(f(x)-\frac12\right)=2x f(x)+x^2+\frac52 $$

に代入すると、

$$ (2ax+b)\left(ax^2+bx+c-\frac12\right)=2x(ax^2+bx+c)+x^2+\frac52 $$

となる。

左辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (2ax+b)\left(ax^2+bx+c-\frac12\right) &=2a^2x^3+3abx^2+(2ac-a+b^2)x+b\left(c-\frac12\right). \end{aligned} $$

右辺は

$$ 2ax^3+(2b+1)x^2+2cx+\frac52 $$

である。

よって係数比較により、

$$ \begin{cases} 2a^2=2a,\\ 3ab=2b+1,\\ 2ac-a+b^2=2c,\\ b\left(c-\dfrac12\right)=\dfrac52 \end{cases} $$

を得る。

第1式より

$$ a(a-1)=0 $$

であるが、$a\neq 0$ なので

$$ a=1 $$

である。

これを第2式に代入すると

$$ 3b=2b+1 $$

より

$$ b=1 $$

である。

さらに第4式に代入すると

$$ c-\frac12=\frac52 $$

より

$$ c=3 $$

である。

したがって

$$ f(x)=x^2+x+3 $$

となる。

解説

この問題の本質は、最初に次数比較を行うことである。いきなり $f(x)=ax^2+bx+c$ とおいても解けるが、なぜ2次式でよいのかを先に確定させると論理が明確になる。

左辺は $f'(x)$ と $f(x)-\dfrac12$ の積なので次数が $2n-1$ になり、右辺は $2x f(x)$ が支配的で $n+1$ になる。この比較から $n=2$ が一気に出る。

答え

**(1)**

$f(x)$ の次数は $2$ である。

**(2)**

$$ f(x)=x^2+x+3 $$