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数学2 式と証明「恒等式」の問題10 解説

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数学2式と証明恒等式問題10

解説

条件 $x+y=2$ より、$y$ を $x$ で表して与式に代入し、$x$ の恒等式として考えるのが自然である。

「$x+y=2$ を満たすすべての $x,y$ に対して成り立つ」とあるので、代入後に得られる $x$ の多項式は恒等的に $0$ でなければならない。

$x+y=2$ より

$$ y=2-x $$

である。これを

$$ ax^2+bx+cy^2=1 $$

に代入すると、

$$ ax^2+bx+c(2-x)^2=1 $$

となる。右辺へ移項して整理すると、

$$ ax^2+bx+c(x^2-4x+4)-1=0 $$

すなわち

$$ (a+c)x^2+(b-4c)x+(4c-1)=0 $$

を得る。

これはすべての $x$ に対して成り立つ恒等式であるから、各係数はそれぞれ $0$ でなければならない。したがって、

$$ \begin{cases} a+c=0\\ b-4c=0\\ 4c-1=0 \end{cases} $$

となる。

下から順に解くと、

$$ c=\frac14 $$

であり、これを用いて

$$ b=4c=1,\qquad a=-c=-\frac14 $$

となる。

この問題の要点は、「条件を満たすすべての $x,y$ に対して成り立つ」という部分を、恒等式の条件として読むことである。

$x+y=2$ という一次の条件があるので、$y=2-x$ として1変数に落とせば、多項式の係数比較で一気に決まる。特定の値を代入して連立方程式を作ることもできるが、恒等式として処理するのが最も標準的である。

$$ a=-\frac14,\qquad b=1,\qquad c=\frac14 $$