解説

方針・初手

左辺は $x$ の2次式である。これが常に $9$ に等しい恒等式になるには、展開したときに $x^2$ の係数と $x$ の係数がともに $0$、定数項が $9$ になればよい。

また、$(x-1)^2,\ (x-1)(x+2),\ (x+2)^2$ という形を見て、$x=1,\ -2$ を代入すると一気に求まることにも気づける。

解法1

左辺を展開する。

$$ a(x-1)^2+b(x-1)(x+2)+c(x+2)^2 $$

$$ =a(x^2-2x+1)+b(x^2+x-2)+c(x^2+4x+4) $$

$$ =(a+b+c)x^2+(-2a+b+4c)x+(a-2b+4c) $$

これが恒等的に $9$ に等しいので、

$$ \begin{cases} a+b+c=0\\ -2a+b+4c=0\\ a-2b+4c=9 \end{cases} $$

を満たす。

上2式から $b$ を消去する。

第1式より

$$ b=-a-c $$

これを第2式に代入すると、

$$ -2a+(-a-c)+4c=0 $$

$$ -3a+3c=0 $$

$$ a=c $$

したがって、第1式より

$$ b=-a-c=-2a $$

これを第3式に代入すると、

$$ a-2(-2a)+4a=9 $$

$$ 9a=9 $$

$$ a=1 $$

よって

$$ c=1,\qquad b=-2 $$

したがって、

$$ a=1,\quad b=-2,\quad c=1 $$

である。

解法2

恒等式であるから、どの $x$ を代入しても成り立つ。そこで式が簡単になる値を代入する。

まず $x=-2$ を代入すると、

$$ a(-3)^2+b(-3)\cdot 0+c\cdot 0^2=9 $$

$$ 9a=9 $$

$$ a=1 $$

次に $x=1$ を代入すると、

$$ a\cdot 0^2+b\cdot 0\cdot 3+c\cdot 3^2=9 $$

$$ 9c=9 $$

$$ c=1 $$

最後に $x=0$ を代入すると、

$$ a(-1)^2+b(-1)\cdot 2+c\cdot 2^2=9 $$

$$ a-2b+4c=9 $$

ここに $a=1,\ c=1$ を代入して

$$ 1-2b+4=9 $$

$$ -2b=4 $$

$$ b=-2 $$

よって、

$$ a=1,\quad b=-2,\quad c=1 $$

である。

解説

この問題は、恒等式である以上、係数比較で処理するのが基本である。

一方で、$(x-1)$ や $(x+2)$ が現れているので、$x=1,\ -2$ を代入すると2項が消え、未知数を1つずつ直接決められる。こちらの方が計算量は少ない。

さらに、求めた値を代入すると

$$ (x-1)^2-2(x-1)(x+2)+(x+2)^2 $$

$$ ={(x-1)-(x+2)}^2 $$

$$ =(-3)^2=9 $$

となり、確かに恒等式になっていることも一瞬で確認できる。

答え

$$ a=1,\qquad b=-2,\qquad c=1 $$