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数学2 式と証明「恒等式」の問題12 解説

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数学2式と証明恒等式問題12

解説

右辺を通分して分子を比較する。部分分数分解では、まず

$$ \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1} $$

を1つの分数にまとめ、分子どうしが一致するように $a,b$ を決めればよい。

右辺を通分すると、

$$ \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1} =\frac{a(x+1)+b(x-1)}{(x-1)(x+1)} =\frac{(a+b)x+(a-b)}{x^2-1} $$

である。

これが

$$ \frac{3x-1}{x^2-1} $$

に等しいので、分子を比較して

$$ (a+b)x+(a-b)=3x-1 $$

となる。したがって係数比較より、

$$ \begin{cases} a+b=3 \\ a-b=-1 \end{cases} $$

を得る。

2式を加えると

$$ 2a=2 $$

より、

$$ a=1 $$

である。

さらに $a+b=3$ に代入して

$$ 1+b=3 $$

より、

$$ b=2 $$

となる。

この問題は部分分数分解の基本形である。右辺を通分して分子を整理し、左辺の分子 $3x-1$ と係数を比較すればよい。分母がすでに同じ形 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ になっているので、計算は素直である。

$$ a=1,\quad b=2 $$

したがって、

$$ \text{[イ]}=1,\quad \text{[ウ]}=2 $$