解説

方針・初手

$x^2$ の係数が $1$ であるから、$A$ が $x,y$ についての2つの1次式の積で表されるなら

$$ A=(x+my+n)(x+py+q) $$

とおける。

これを展開して係数を比較すれば、$m,p,n,q$ の満たす条件が分かり、そこから $a$ の値と因数分解の形を決められる。

解法1

$A$ を

$$ A=(x+my+n)(x+py+q) $$

とおく。

これを展開すると

$$ \begin{aligned} A &=x^2+(m+p)xy+mp\,y^2+(n+q)x+(mq+np)y+nq \end{aligned} $$

となる。

これが

$$ x^2+xy-6y^2+5x+ay+4 $$

に一致するので、係数比較により

$$ \begin{cases} m+p=1 \\ mp=-6 \\ n+q=5 \\ nq=4 \\ mq+np=a \end{cases} $$

を得る。

まず、$m,p$ については

$$ t^2-(m+p)t+mp=0 $$

より

$$ t^2-t-6=0 $$

を満たすから、

$$ (t-3)(t+2)=0 $$

となり、

$$ \{m,p\}=\{3,-2\} $$

である。

同様に、$n,q$ については

$$ t^2-(n+q)t+nq=0 $$

より

$$ t^2-5t+4=0 $$

を満たすから、

$$ (t-1)(t-4)=0 $$

となり、

$$ \{n,q\}=\{1,4\} $$

である。

したがって、$a=mq+np$ は組合せによって2通り生じる。

**(i)**

$m=3,\ p=-2,\ n=1,\ q=4$ のとき

$$ a=3\cdot 4+1\cdot(-2)=12-2=10 $$

このとき

$$ A=(x+3y+1)(x-2y+4) $$

である。

**(ii)**

$m=3,\ p=-2,\ n=4,\ q=1$ のとき

$$ a=3\cdot 1+4\cdot(-2)=3-8=-5 $$

このとき

$$ A=(x+3y+4)(x-2y+1) $$

である。

よって、求める $a$ は

$$ a=10,\ -5 $$

であり、それぞれ対応する因数分解は

$$ A=(x+3y+1)(x-2y+4) $$

または

$$ A=(x+3y+4)(x-2y+1) $$

である。

解説

$x,y$ を含む2次式が2つの1次式の積になるかどうかは、まず一般形

$$ (x+my+n)(x+py+q) $$

を立てて係数比較するのが基本である。

この問題では、$xy$ の係数と $y^2$ の係数から $m,p$ が決まり、$x$ の係数と定数項から $n,q$ が決まる。最後に $y$ の係数だけが組合せによって変わるため、$a$ が2通り出る点が要注意である。

答え

**(1)**

$$ a=10,\ -5 $$

**(2)**

**$a=10$ のとき**

$$ A=(x+3y+1)(x-2y+4) $$

**$a=-5$ のとき**

$$ A=(x+3y+4)(x-2y+1) $$