解説

方針・初手

条件 （i） は

$$ x^4 f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x) $$

であり、$f(x)$ が「逆数を代入しても同じ形に戻る」ことを表している。まずこれを用いて次数をしぼる。

そのうえで、次数が $4$ 以下と分かったあと、

$$ f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e $$

とおいて条件 （i）, （ii）, （iii） を順に課せば、係数が決まる。

解法1

（1） 条件 （i） をみたす多項式 $f(x)$ の次数は $4$ 以下であることを示す。

$f(x)$ が零多項式であればよい。

以下、$f(x)$ が零多項式でないとして、その次数を $n$ とする。するとある定数 $a\neq 0$ を用いて

$$ f(x)=ax^n+\cdots $$

と書ける。

このとき

$$ f\left(\frac{1}{x}\right)=a x^{-n}+\cdots $$

であるから、条件 （i） より

$$ x^4 f\left(\frac{1}{x}\right)=a x^{4-n}+\cdots = f(x) $$

となる。

右辺 $f(x)$ は多項式であり、その最高次は $n$ 次である。一方、左辺 $x^4 f(1/x)$ が多項式になるためには、負のべきが現れてはならないから

$$ 4-n\geqq 0 $$

すなわち

$$ n\leqq 4 $$

である。

よって、条件 （i） をみたす多項式 $f(x)$ の次数は $4$ 以下である。

（2） 条件 （i）, （ii）, （iii） をすべてみたす多項式 $f(x)$ を求める。

（1） より、$f(x)$ は高々 $4$ 次であるから

$$ f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e $$

とおく。

まず条件 （i）

$$ x^4 f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x) $$

を用いる。

左辺は

$$ x^4\left(a x^{-4}+b x^{-3}+c x^{-2}+d x^{-1}+e\right) = a+bx+cx^2+dx^3+ex^4 $$

であるから、

$$ a+bx+cx^2+dx^3+ex^4=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e $$

が恒等的に成り立つ。係数比較により

$$ e=a,\qquad d=b $$

を得る。

したがって

$$ f(x)=a(x^4+1)+b(x^3+x)+cx^2 $$

と書ける。

次に条件 （ii）

$$ f(1-x)=f(x) $$

を用いる。

$1-x$ を代入すると

$$ f(1-x)=a\bigl((1-x)^4+1\bigr)+b\bigl((1-x)^3+(1-x)\bigr)+c(1-x)^2 $$

である。これを展開すると

$$ \begin{aligned} f(1-x) &=a(x^4-4x^3+6x^2-4x+2) \\ &\quad +b(-x^3+3x^2-4x+2)+c(x^2-2x+1). \end{aligned} $$

これが

$$ f(x)=a(x^4+1)+b(x^3+x)+cx^2 $$

に恒等的に等しいので、係数比較を行う。

$x^3$ の係数より

$$ -4a-b=b $$

すなわち

$$ b=-2a $$

を得る。

さらに $x$ の係数より

$$ -4a-4b-2c=b $$

であり、ここに $b=-2a$ を代入すると

$$ -4a+8a-2c=-2a $$

すなわち

$$ c=3a $$

を得る。

よって

$$ f(x)=a(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) $$

となる。

最後に条件 （iii）

$$ f(1)=1 $$

を用いると、

$$ f(1)=a(1-2+3-2+1)=a $$

であるから

$$ a=1 $$

となる。

したがって求める多項式は

$$ f(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x+1 $$

である。

なお、

$$ x^4-2x^3+3x^2-2x+1=(x^2-x+1)^2 $$

である。

解説

条件 （i） は、係数が左右対称になることを表している。実際、$4$ 次以下と分かったあとで一般形を書けば、定数項と $x^4$ の係数、$x$ と $x^3$ の係数がそれぞれ等しくなる。

条件 （ii） は、$x=\dfrac12$ に関する対称性である。この条件をさらに課すことで係数の自由度が大きく減り、最後に （iii） により定数倍も確定する。

この問題の本質は、2つの対称条件を係数比較に落とし込むことである。

答え

**(1)**

条件 （i） をみたす多項式 $f(x)$ の次数は $4$ 以下である。

**(2)**

条件 （i）, （ii）, （iii） をすべてみたす多項式は

$$ f(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x+1=(x^2-x+1)^2 $$

である。