解説

方針・初手

4次式が2次式の平方であるなら、

$$ x^4+ax^3+11x^2+bx+1=(px^2+qx+r)^2 $$

とおける。これを展開して係数を比較すれば、$p,q,r$ の条件が分かり、そこから $a,b$ が決まる。

解法1

与えられた式がある2次式の平方であるから、

$$ x^4+ax^3+11x^2+bx+1=(px^2+qx+r)^2 $$

とおく。

右辺を展開すると、

$$ (px^2+qx+r)^2 =p^2x^4+2pqx^3+(q^2+2pr)x^2+2qrx+r^2 $$

である。

これが

$$ x^4+ax^3+11x^2+bx+1 $$

に一致するので、係数比較により

$$ p^2=1,\quad 2pq=a,\quad q^2+2pr=11,\quad 2qr=b,\quad r^2=1 $$

を得る。

ここで $p^2=1,\ r^2=1$ より

$$ p=\pm 1,\quad r=\pm 1 $$

である。

次に

$$ q^2+2pr=11 $$

に注目する。$p,r=\pm1$ だから $pr=\pm1$ であり、

$$ q^2=11-2pr $$

となる。

**(i)**

$pr=1$ のとき

$$ q^2=11-2=9 $$

より

$$ q=\pm3 $$

である。

このとき

$$ a=2pq,\quad b=2qr $$

であり、しかも $pr=1$ なので $p,r$ は同符号である。したがって $a,b$ は等しくなり、

$$ (a,b)=(6,6),\ (-6,-6) $$

を得る。

**(ii)**

$pr=-1$ のとき

$$ q^2=11-2(-1)=13 $$

となる。しかしこのとき

$$ a=2pq,\quad b=2qr $$

は $\pm2\sqrt{13}$ を含み、整数にならない。これは $a,b$ が整数であることに反する。

よって （ii） は不適である。

以上より、求める値は

$$ (a,b)=(6,6),\ (-6,-6) $$

である。

解説

この問題の要点は、4次式が2次式の平方なら一般に $(px^2+qx+r)^2$ とおいて係数比較することである。

特に今回は、最高次係数と定数項がともに $1$ なので $p,r=\pm1$ とすぐ分かる。このことから $q^2+2pr=11$ を調べるだけで候補が大きく絞られる。整数条件が最後の決め手になっている。

答え

$$ (a,b)=(6,6),\ (-6,-6) $$