解説

方針・初手

与えられた連立方程式から、$x,y,z$ を1つの文字で表す。すると $ax^2+by^2+cz^2$ はその文字についての2次式になるので、それが常に $7$ であるための条件を係数比較で求めればよい。

解法1

与えられた条件は

$$ \begin{cases} x+y-2z=-1 \\ 2x+y-3z=2 \end{cases} $$

である。

上の2式の差をとると

$$ (2x+y-3z)-(x+y-2z)=2-(-1) $$

より

$$ x-z=3 $$

したがって

$$ x=z+3 $$

である。

これを $x+y-2z=-1$ に代入すると

$$ (z+3)+y-2z=-1 $$

より

$$ y-z=-4 $$

すなわち

$$ y=z-4 $$

である。

ここで $z=t$ とおくと

$$ x=t+3,\quad y=t-4,\quad z=t $$

と表せる。

したがって

$$ ax^2+by^2+cz^2 =a(t+3)^2+b(t-4)^2+ct^2 $$

である。これを展開すると

$$ a(t^2+6t+9)+b(t^2-8t+16)+ct^2 $$

すなわち

$$ (a+b+c)t^2+(6a-8b)t+(9a+16b) $$

となる。

これが常に $7$ であるから、$t$ の2次式・1次式の係数は $0$、定数項は $7$ でなければならない。よって

$$ \begin{cases} a+b+c=0 \\ 6a-8b=0 \\ 9a+16b=7 \end{cases} $$

を解けばよい。

第2式より

$$ 6a=8b $$

すなわち

$$ 3a=4b,\quad b=\frac{3}{4}a $$

である。

これを第3式に代入すると

$$ 9a+16\cdot \frac{3}{4}a=7 $$

$$ 9a+12a=7 $$

$$ 21a=7 $$

よって

$$ a=\frac{1}{3} $$

である。

したがって

$$ b=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4} $$

さらに第1式より

$$ c=-(a+b)= -\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) =-\frac{7}{12} $$

となる。

解説

この問題の要点は、連立方程式の解が1本の直線として表されることである。実際に $z=t$ とおいて $x,y$ を $t$ で表せば、$ax^2+by^2+cz^2$ は $t$ の多項式になる。

「常に $7$」という条件は、その多項式が定数多項式 $7$ と一致することを意味するので、係数比較を行えばよい。この型は、条件式から文字を1つにまとめて恒等式に持ち込むのが典型処理である。

答え

$$ a=\frac{1}{3},\qquad b=\frac{1}{4},\qquad c=-\frac{7}{12} $$

したがって

$$ \boxed{a=\frac{1}{3},\ b=\frac{1}{4},\ c=-\frac{7}{12}} $$