解説

方針・初手

等式が「どのような整数 $l,m,n$ に対しても」成り立つので、$l,m,n$ を独立な変数とみて係数比較を行うのが最も自然である。

左辺を $l,m,n$ について整理し、右辺と比較する。

解法1

与えられた等式は

$$ l\cdot 10^{x-y}-nx+l\cdot 10^{y-z}+m\cdot 10^{x-z}=13l+36m+ny $$

である。

左辺を $l,m,n$ でまとめると

$$ \left(10^{x-y}+10^{y-z}\right)l+10^{x-z}m-xn=13l+36m+yn $$

となる。

これが任意の整数 $l,m,n$ に対して成り立つので、各係数を比較して

$$ \begin{cases} 10^{x-y}+10^{y-z}=13,\\ 10^{x-z}=36,\\ -x=y \end{cases} $$

を得る。

まず $y=-x$ である。

また、

$$ 10^{x-z}=36 $$

より

$$ z=x-\log_{10}36 $$

である。

これを

$$ 10^{x-y}+10^{y-z}=13 $$

に代入する。$y=-x$ だから

$$ x-y=x-(-x)=2x $$

であり、また

$$ y-z=-x-\left(x-\log_{10}36\right)=\log_{10}36-2x $$

だから

$$ 10^{2x}+10^{\log_{10}36-2x}=13 $$

すなわち

$$ 10^{2x}+\frac{36}{10^{2x}}=13 $$

となる。

ここで

$$ t=10^{2x}\quad (t>0) $$

とおくと、

$$ t+\frac{36}{t}=13 $$

より

$$ t^2-13t+36=0 $$

となる。これを解くと

$$ (t-4)(t-9)=0 $$

なので

$$ t=4,\ 9 $$

である。

したがって

**(i)**

$10^{2x}=4$ のとき

$$ 2x=\log_{10}4 $$

より

$$ x=\log_{10}2,\qquad y=-\log_{10}2 $$

であり、

$$ z=x-\log_{10}36=\log_{10}2-\log_{10}36=\log_{10}\frac{1}{18} $$

となる。

**(ii)**

$10^{2x}=9$ のとき

$$ 2x=\log_{10}9 $$

より

$$ x=\log_{10}3,\qquad y=-\log_{10}3 $$

であり、

$$ z=x-\log_{10}36=\log_{10}3-\log_{10}36=\log_{10}\frac{1}{12} $$

となる。

解説

この問題の要点は、「任意の整数 $l,m,n$ に対して成り立つ」という条件から、$l,m,n$ の係数を比較することである。ここを見落とすと、$x,y,z$ を直接求めようとして複雑になる。

その後は $10^{x-z}=36$ と $y=-x$ を用いて未知数を1つに減らし、$10^{2x}$ を文字で置けば二次方程式に帰着する。指数の問題を代数方程式に落とす典型的な処理である。

答え

$$ (x,y,z)=\left(\log_{10}2,\ -\log_{10}2,\ \log_{10}\frac{1}{18}\right),\qquad \left(\log_{10}3,\ -\log_{10}3,\ \log_{10}\frac{1}{12}\right) $$

である。