解説

方針・初手

与えられた式

$$ f(x)+x f'(x)=x(x-2)(x-3) $$

の左辺は、積の微分を用いると

$$ (xf(x))'=f(x)+x f'(x) $$

と見られる。したがって、まずこれを利用して $xf(x)$ を求めるのが自然である。

解法1

与式より

$$ (xf(x))'=x(x-2)(x-3) $$

である。右辺を展開すると

$$ x(x-2)(x-3)=x^3-5x^2+6x $$

であるから、両辺を積分して

$$ xf(x)=\int (x^3-5x^2+6x),dx =\frac14 x^4-\frac53 x^3+3x^2+C $$

となる。よって

$$ f(x)=\frac14 x^3-\frac53 x^2+3x+\frac{C}{x} $$

である。

ここで、$f(x)$ は整式であるから、$\dfrac{C}{x}$ の項は存在してはならない。したがって

$$ C=0 $$

である。

ゆえに

$$ f(x)=\frac14 x^3-\frac53 x^2+3x $$

となる。したがって、$f(x)$ は $3$ 次関数であり、$2$ 次の項の係数、$1$ 次の項の係数はそれぞれ

$$ a=-\frac53,\qquad b=3 $$

である。

解法2

$f(x)$ は整式であるから、$f(x)$ の次数を $n$、最高次の項の係数を $k$ として

$$ f(x)=kx^n+\cdots $$

とおく。

このとき

$$ f'(x)=nkx^{n-1}+\cdots $$

であるから、

$$ f(x)+x f'(x)=(n+1)kx^n+\cdots $$

となる。一方、右辺 $x(x-2)(x-3)$ は $3$ 次式であるから、左辺も $3$ 次式でなければならない。よって

$$ n=3 $$

である。

そこで

$$ f(x)=px^3+ax^2+bx+c $$

とおくと、

$$ f'(x)=3px^2+2ax+b $$

であるから、

$$ f(x)+x f'(x) =(px^3+ax^2+bx+c)+x(3px^2+2ax+b) $$

$$ =4px^3+3ax^2+2bx+c $$

となる。

一方、

$$ x(x-2)(x-3)=x^3-5x^2+6x $$

であるから、係数を比較して

$$ 4p=1,\qquad 3a=-5,\qquad 2b=6,\qquad c=0 $$

を得る。したがって

$$ p=\frac14,\qquad a=-\frac53,\qquad b=3,\qquad c=0 $$

である。

よって

$$ f(x)=\frac14 x^3-\frac53 x^2+3x $$

となり、$f(x)$ は $3$ 次関数である。

解説

この問題の要点は、左辺が

$$ f(x)+x f'(x)=(xf(x))' $$

という形になっていることに気づけるかどうかである。これに気づけば、微分方程式のように見える式が、実際には単なる積分の問題に変わる。

また、整式条件が重要である。積分後に現れる定数項は $xf(x)$ に対するものであり、$f(x)$ に直すと $\dfrac{C}{x}$ が出る。これが整式になるためには $C=0$ でなければならない。

答え

$$ [ア]=3,\qquad [イ]=-\frac53,\qquad [ウ]=3 $$

したがって、

$$ f(x)=\frac14 x^3-\frac53 x^2+3x $$

である。