基礎問題集
数学2 式と証明「恒等式」の問題19 解説
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解説
方針・初手
$k$ についての一次式が、すべての実数 $k$ に対して常に $0$ になるのであるから、$k$ の係数と定数項がそれぞれ $0$ でなければならない。まず式を $k$ で整理する。
解法1
与えられた式
$$ (k+1)x+(k-1)y-5k+1=0 $$
を $k$ について整理すると、
$$ kx+x+ky-y-5k+1=0 $$
すなわち
$$ k(x+y-5)+(x-y+1)=0 $$
となる。
この式がすべての実数 $k$ に対して成り立つためには、
$$ x+y-5=0,\qquad x-y+1=0 $$
であることが必要十分である。
よって、
$$ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=-1 \end{cases} $$
を解けばよい。
2式を加えると
$$ 2x=4 $$
より
$$ x=2 $$
である。
これを $x+y=5$ に代入して
$$ y=3 $$
となる。
解法2
「すべての実数 $k$ に対して成り立つ」ので、特に都合のよい値を代入してよい。
**(i)**
$k=1$ を代入すると、
$$ 2x-4=0 $$
より
$$ x=2 $$
となる。
**(ii)**
$k=-1$ を代入すると、
$$ -2y+6=0 $$
より
$$ y=3 $$
となる。
したがって、
$$ x=2,\ y=3 $$
である。
解説
「任意の実数 $k$ に対して成り立つ」という条件があるときは、$k$ の多項式として見て係数比較をするのが基本である。この問題は一次式なので、$k$ の係数と定数項をそれぞれ $0$ とおけばよい。
一方で、一次式であることを利用して $k=1,-1$ などの値を代入してもすぐに求められる。計算量の少なさでは解法2も有効である。
答え
$$ x=2,\qquad y=3 $$