解説

方針・初手

まず2次の部分

$$ 3x^2+5xy-2y^2 $$

がどのように因数分解されるかを見る。もとの式全体が $x,y$ の1次式の積になるなら、その2次の部分も1次式どうしの積になっていなければならない。

実際，

$$ 3x^2+5xy-2y^2=(3x-y)(x+2y) $$

と因数分解できる。したがって，全体の形は

$$ (3x-y+m)(x+2y+n) $$

とおける。あとは1次の項を比較して $m,n$ を決めればよい。

解法1

与式を

$$ 3x^2+5xy-2y^2+13x+5y+k $$

とする。

2次の部分は

$$ 3x^2+5xy-2y^2=(3x-y)(x+2y) $$

であるから，与式が $x,y$ の1次式の積に因数分解できるなら，

$$ 3x^2+5xy-2y^2+13x+5y+k=(3x-y+m)(x+2y+n) $$

と書ける。

右辺を展開すると，

$$ \begin{aligned} (3x-y+m)(x+2y+n) &=(3x-y)(x+2y)+n(3x-y)+m(x+2y)+mn \\ &=3x^2+5xy-2y^2+(3n+m)x+(-n+2m)y+mn \end{aligned} $$

となる。

これが

$$ 3x^2+5xy-2y^2+13x+5y+k $$

に一致するので，係数比較により

$$ \begin{cases} 3n+m=13 \\ -n+2m=5 \end{cases} $$

を得る。

第1式から $m=13-3n$ である。これを第2式に代入すると，

$$ -n+2(13-3n)=5 $$

より，

$$ -7n=-21 $$

したがって，

$$ n=3 $$

である。よって

$$ m=13-3\cdot 3=4 $$

となる。

したがって

$$ k=mn=4\cdot 3=12 $$

である。

実際，

$$ 3x^2+5xy-2y^2+13x+5y+12=(3x-y+4)(x+2y+3) $$

と因数分解できる。

解法2

与式が $x,y$ の1次式の積になるとして，

$$ 3x^2+5xy-2y^2+13x+5y+k=(ax+by+c)(dx+ey+f) $$

とおく。

展開して係数を比較すると，

$$ \begin{cases} ad=3 \\ ae+bd=5 \\ be=-2 \\ af+cd=13 \\ bf+ce=5 \\ cf=k \end{cases} $$

を得る。

まず

$$ ad=3,\quad be=-2,\quad ae+bd=5 $$

を満たす $a,b,d,e$ を考える。ここで

$$ (a,b,d,e)=(3,-1,1,2) $$

とすると，

$$ ad=3,\quad be=-2,\quad ae+bd=3\cdot 2+(-1)\cdot 1=5 $$

となり条件を満たす。

よって

$$ 3x^2+5xy-2y^2+13x+5y+k=(3x-y+c)(x+2y+f) $$

とおける。

このとき1次の項の係数比較より，

$$ \begin{cases} 3f+c=13 \\ -f+2c=5 \end{cases} $$

となるので，これを解いて

$$ f=3,\quad c=4 $$

を得る。したがって

$$ k=cf=4\cdot 3=12 $$

である。

解説

この問題の要点は，いきなり $k$ を追うのではなく，まず2次の部分だけを因数分解することである。全体が1次式の積になるなら，その最高次部分も対応して1次式の積になっていなければならないからである。

したがって

$$ 3x^2+5xy-2y^2=(3x-y)(x+2y) $$

を見抜ければ，あとは定数項を付け足した

$$ (3x-y+m)(x+2y+n) $$

の形にして1次の項を比較するだけで済む。計算量が少なく，最も自然な方針である。

答え

$$ k=12 $$

このとき，

$$ 3x^2+5xy-2y^2+13x+5y+12=(3x-y+4)(x+2y+3) $$

と因数分解できる。