解説

方針・初手

まず恒等式に具体的な値を代入して、$f(0)$、$f(-1)$ などの基本値を押さえる。

そのうえで、次数比較により $n$ を決定し、最後に $f(x)=ax^2+bx+c$ とおいて係数を比較すればよい。

解法1

恒等式

$$ f(x^3)=x^4f(x+1)-15x^5-10x^4+5x^3 $$

がすべての $x$ について成り立つとする。

まず $x=0$ を代入すると、

$$ f(0)=0 $$

である。

次に $x=-1$ を代入すると、

$$ f(-1)=(-1)^4f(0)-15(-1)^5-10(-1)^4+5(-1)^3 $$

より、

$$ f(-1)=f(0)+15-10-5=0 $$

となる。したがって

$$ f(0)=0,\qquad f(-1)=0 $$

である。

次に次数を調べる。

$f(x)$ の次数を $n$、最高次の係数を $a\ (\neq 0)$ とする。

すると $f(x^3)$ の最高次項は $ax^{3n}$ であり、$x^4f(x+1)$ の最高次項は $ax^{n+4}$ である。

**(i)**

$n\geqq 2$ のとき、$n+4\geqq 6$ であり、右辺の $-15x^5-10x^4+5x^3$ では最高次項は打ち消せない。よって

$$ 3n=n+4 $$

であるから、

$$ 2n=4,\qquad n=2 $$

を得る。

**(ii)**

$n=1$ と仮定して $f(x)=ax+b$ とおくと、

$$ ax^3+b=x^4{a(x+1)+b}-15x^5-10x^4+5x^3 $$

すなわち

$$ ax^3+b=(a-15)x^5+(a+b-10)x^4+5x^3 $$

となる。係数比較より

$$ a-15=0,\qquad a+b-10=0,\qquad a=5 $$

を同時に満たす必要があるが、$a=15$ と $a=5$ が矛盾する。したがって $n=1$ は不可能である。

**(iii)**

$n=0$ は、左辺が定数であるのに右辺が $x$ を含むので不可能である。

以上より、

$$ n=2 $$

である。

そこで

$$ f(x)=ax^2+bx+c $$

とおく。すでに $f(0)=0$ であるから

$$ c=0 $$

であり、

$$ f(x)=ax^2+bx $$

となる。

これを恒等式に代入すると、

$$ f(x^3)=ax^6+bx^3 $$

また、

$$ x^4f(x+1)=x^4{a(x+1)^2+b(x+1)} $$

であるから、

$$ x^4f(x+1)=x^4{ax^2+(2a+b)x+(a+b)} $$

すなわち

$$ x^4f(x+1)=ax^6+(2a+b)x^5+(a+b)x^4 $$

となる。よって恒等式は

$$ ax^6+bx^3=ax^6+(2a+b-15)x^5+(a+b-10)x^4+5x^3 $$

となるので、係数比較より

$$ 2a+b-15=0,\qquad a+b-10=0,\qquad b=5 $$

を得る。

$b=5$ を代入すると

$$ 2a+5-15=0 $$

より

$$ a=5 $$

である。したがって

$$ f(x)=5x^2+5x=5x(x+1) $$

となる。

これより

$$ f(1)=5\cdot 1\cdot 2=10, \qquad f(-1)=5\cdot (-1)\cdot 0=0, \qquad f(8)=5\cdot 8\cdot 9=360 $$

である。

解説

この問題の要点は、いきなり $f(x)$ を決めに行くのではなく、まず代入で $f(0)$、$f(-1)$ を押さえ、その後に次数比較で $n$ を確定する点にある。

特に $f(x^3)$ と $x^4f(x+1)$ では、次数がそれぞれ $3n$、$n+4$ になるため、ここから $n$ が強く制限される。$n=2$ と分かれば、あとは二次式として係数比較を行うだけである。

答え

**(1)**

$$ f(1)=10,\qquad f(-1)=0,\qquad f(8)=360 $$

**(2)**

$$ n=2 $$

**(3)**

$$ f(x)=5x^2+5x=5x(x+1) $$