解説

方針・初手

$f(x)$ の根を複素数まで広げて考える。

$f(x)$ が $f(x^2)$ を割り切るなら、$f(x)$ の根 $\alpha$ に対して $f(\alpha^2)=0$ である。したがって、$f(x)$ の根は「2乗すると再び $f(x)$ の根になる」という性質をもつ。

2次式なので根は高々2個しかない。この制約のもとで、どのような根の組がありうるかを分類すればよい。

解法1

$f(x)$ の根を $\alpha,\beta$ とする。重解の場合も含めてよい。

$f(0)=1$ であるから、$0$ は根ではない。したがって

$$ \alpha\neq 0,\quad \beta\neq 0 $$

である。

また、$f(x)$ が $f(x^2)$ を割り切るので、$f(\alpha)=0$ ならば

$$ f(\alpha^2)=0 $$

であり、$\alpha^2$ も $f(x)$ の根である。同様に $\beta^2$ も $f(x)$ の根である。

よって、根の集合 $\{\alpha,\beta\}$ は「2乗」によって自分自身に移る。

ここで、根は高々2個しかないので、起こりうる場合を分類する。

（i） 固定される場合

ある根 $r$ が

$$ r^2=r $$

を満たすとする。$r\neq 0$ なので

$$ r=1 $$

である。

したがって、固定点は $1$ しかない。

（ii） 1回で固定点 $1$ に入る場合

ある根 $r$ について

$$ r^2=1 $$

ならば

$$ r=\pm 1 $$

である。

したがって、この型で現れうる根は $1,-1$ である。

（iii） 2周期をなす場合

異なる2つの根 $r,s$ が

$$ r^2=s,\quad s^2=r $$

を満たすとする。このとき

$$ r^4=r $$

であり、$r\neq 0$ だから

$$ r^3=1 $$

となる。よって $r$ は3乗して1になる数である。

$r=1$ なら $s=r^2=1$ となって異なる2根にならないので、$r$ は1以外の3乗根である。したがって

$$ r=\omega,\quad s=\omega^2 $$

ただし $\omega^3=1,\ \omega\neq 1$ である。

以上より、根の組は次の3通りしかない。

$$ \{1,1\},\quad \{1,-1\},\quad \{\omega,\omega^2\} $$

それぞれに対応する $f(x)$ を、$f(0)=1$ を用いて求める。

（1） 根が $\{1,1\}$ のとき

$$ f(x)=(x-1)^2=x^2-2x+1 $$

（2） 根が $\{1,-1\}$ のとき

$(x-1)(x+1)=x^2-1$ は定数項が $-1$ なので、$f(0)=1$ を満たすには $-1$ 倍して

$$ f(x)=1-x^2 $$

（3） 根が $\{\omega,\omega^2\}$ のとき

$$ f(x)=(x-\omega)(x-\omega^2)=x^2-(\omega+\omega^2)x+\omega^3 $$

ここで $\omega+\omega^2=-1,\ \omega^3=1$ より

$$ f(x)=x^2+x+1 $$

最後に確認する。

$$ (x^2-2x+1)\ \text{については}\ f(x^2)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2 $$

であり、$(x-1)^2$ で割り切れる。

$$ 1-x^2\ \text{については}\ f(x^2)=1-x^4=(1-x^2)(1+x^2) $$

であり、$1-x^2$ で割り切れる。

$$ x^2+x+1\ \text{については}\ f(x^2)=x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1) $$

であり、$x^2+x+1$ で割り切れる。

したがって、求めるものはこの3つである。

解法2

$f(0)=1$ より

$$ f(x)=ax^2+bx+1\quad (a\neq 0) $$

とおける。

$f(x)$ が $f(x^2)$ を割り切るので、ある2次式 $g(x)=Ax^2+Bx+C$ が存在して

$$ f(x^2)=f(x)g(x) $$

と書ける。

左辺は

$$ f(x^2)=ax^4+bx^2+1 $$

であるから、

$$ (ax^2+bx+1)(Ax^2+Bx+C)=ax^4+bx^2+1 $$

の係数比較を行う。

展開すると

$$ aA x^4+(aB+bA)x^3+(aC+bB+A)x^2+(bC+B)x+C $$

となるので、

$$ \begin{cases} aA=a\\ aB+bA=0\\ aC+bB+A=b\\ bC+B=0\\ C=1 \end{cases} $$

を得る。

まず $a\neq 0$ なので $A=1$、また $C=1$ である。

したがって

$$ aB+b=0,\qquad b+B=0 $$

より

$$ B=-\frac{b}{a},\qquad B=-b $$

であるから

$$ b(a-1)=0 $$

を得る。

**(i)**

$b=0$ のとき

$x^2$ の係数比較より

$$ a+1=0 $$

だから

$$ a=-1 $$

である。よって

$$ f(x)=1-x^2 $$

**(ii)**

$a=1$ のとき

$x^2$ の係数比較より

$$ a+bB+1=b $$

に $a=1,\ B=-b$ を代入して

$$ 1-b^2+1=b $$

すなわち

$$ b^2+b-2=0 $$

となる。よって

$$ b=1,\ -2 $$

であり、

$$ f(x)=x^2+x+1,\quad x^2-2x+1 $$

以上より、求める2次式は

$$ 1-x^2,\quad x^2+x+1,\quad x^2-2x+1 $$

である。

解説

この問題の本質は、「$f(x)$ の根 $\alpha$ があれば $\alpha^2$ も根になる」という閉じ方にある。

2次式なので根は2個までしかなく、2乗を繰り返してもその2個の中を動くしかない。この制約から、根は結局

$$ 1,\ -1,\ \omega,\ \omega^2 $$

のいずれかに限られる。

係数比較でも解けるが、根の動きに着目する方法の方が見通しがよい。特に $1-x^2$ を落としやすいので、重解 $(x-1)^2$ と $x^2+x+1$ だけで終わらないよう注意が必要である。

答え

$$ f(x)=1-x^2,\quad x^2+x+1,\quad x^2-2x+1 $$

である。