基礎問題集
数学2 式と証明「不等式の証明」の問題1 解説
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解説
方針・初手
与えられた不等式は、そのまま眺めるよりも、右辺から左辺を引いて因数分解できる形に直すのが最も速い。
特に
$$ 1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz $$
という形は、$(1-x)(1-y)(1-z)$ の展開形になっていることに気づけばよい。
解法1
示すべき不等式は
$$ xyz+x+y+z<xy+yz+zx+1 $$
である。
両辺を移項すると、
$$ 0<xy+yz+zx+1-xyz-x-y-z $$
となる。右辺を整理すると、
$$ xy+yz+zx+1-xyz-x-y-z =1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz $$
である。
ここで、右辺は因数分解できて
$$ 1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz=(1-x)(1-y)(1-z) $$
となる。
実際、
$$ \begin{aligned} (1-x)(1-y)(1-z) &=(1-x)(1-y-z+yz)\\ &=1-y-z+yz-x+xy+xz-xyz\\ &=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz \end{aligned} $$
である。
仮定より $x<1,\ y<1,\ z<1$ だから、
$$ 1-x>0,\quad 1-y>0,\quad 1-z>0 $$
が成り立つ。したがって、それらの積も正であり、
$$ (1-x)(1-y)(1-z)>0 $$
である。
よって
$$ xy+yz+zx+1-xyz-x-y-z>0 $$
すなわち
$$ xyz+x+y+z<xy+yz+zx+1 $$
が成り立つ。
解説
この問題の要点は、左辺と右辺の差を取って因数分解することである。
$$ xy+yz+zx+1-(xyz+x+y+z) $$
が $(1-x)(1-y)(1-z)$ に一致することが見抜ければ、あとは仮定 $x<1,\ y<1,\ z<1$ から各因子が正であることを述べるだけで終わる。
不等式の証明では、差を取って符号を調べる方針が非常に基本である。
答え
$$ xy+yz+zx+1-(xyz+x+y+z)=(1-x)(1-y)(1-z) $$
であり、$x<1,\ y<1,\ z<1$ より
$$ 1-x>0,\quad 1-y>0,\quad 1-z>0 $$
だから
$$ (1-x)(1-y)(1-z)>0 $$
となる。ゆえに
$$ xyz+x+y+z<xy+yz+zx+1 $$
が成り立つ。