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数学2 式と証明「不等式の証明」の問題2 解説
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解説
方針・初手
(1) は左右の差を直接計算すればよい。正の数 $x,y$ に対して
$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y} $$
を通分すると平方の形が現れる。
(2) は $a_1+a_4=a_2+a_3$ に注目し、$(a_1,a_4)$ と $(a_2,a_3)$ を組にして (1) と同じ形を2回使えばよい。
解法1
まず、$d>0$ より
$$ a_1<a_2<a_3<a_4 $$
であり、すべて正である。
**(1)**
左辺から右辺を引くと
$$ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_4}-\frac{4}{a_1+a_4} =\frac{(a_1+a_4)^2-4a_1a_4}{a_1a_4(a_1+a_4)} =\frac{(a_1-a_4)^2}{a_1a_4(a_1+a_4)} $$
となる。
ここで $a_1>0,\ a_4>0,\ a_1+a_4>0$ であり、さらに $d>0$ だから
$$ a_4-a_1=3d>0 $$
である。したがって $(a_1-a_4)^2>0$ であるから、
$$ \frac{(a_1-a_4)^2}{a_1a_4(a_1+a_4)}>0 $$
となる。よって
$$ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_4}>\frac{4}{a_1+a_4} $$
が成り立つ。
**(2)**
数列が等差数列であるから
$$ a_2+a_3=(a+d)+(a+2d)=2a+3d=a_1+a_4 $$
である。
したがって、(1) と同様にして
$$ \frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}>\frac{4}{a_2+a_3}=\frac{4}{a_1+a_4} $$
が成り立つ。
これと (1) を辺々加えると
$$ \left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_4}\right)+\left(\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}\right) > \frac{4}{a_1+a_4}+\frac{4}{a_1+a_4} =\frac{8}{a_1+a_4} $$
すなわち
$$ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}
>
\frac{8}{a_1+a_4} $$
である。
解説
(1) は逆数の和に関する基本的な不等式であり、通分すると
$$ (a_1-a_4)^2 $$
が現れるのが本質である。正の数であることにより分母は正なので、符号判定が容易になる。
(2) は4項を一度に扱うよりも、端の2項と中央の2項に分けるのが自然である。等差数列では
$$ a_1+a_4=a_2+a_3 $$
となるため、同じ型の不等式を2回使うだけで処理できる。
答え
**(1)**
$$ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_4}>\frac{4}{a_1+a_4} $$
**(2)**
$$ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}>\frac{8}{a_1+a_4} $$
が成り立つ。