解説

方針・初手

$a$ が4数の最小値であるから、$b,c,d$ を $a$ からの増分で表すと見通しがよい。

$$ b=a+x,\quad c=a+y,\quad d=a+z\qquad (x,y,z\ge 0) $$

とおけば、

$$ a+d-(b+c)=z-x-y $$

となる。したがって、条件 $ad>bc$ から $z-x-y$ の符号を調べればよい。

解法1

$a$ が最小であるから、ある $x,y,z\ge 0$ を用いて

$$ b=a+x,\quad c=a+y,\quad d=a+z $$

と書ける。

このとき

$$ a+d-(b+c)=a+(a+z)-{(a+x)+(a+y)}=z-x-y $$

である。よって、$a+d$ と $b+c$ の大小比較は $z-x-y$ の符号に帰着する。

一方、条件 $ad>bc$ に代入すると

$$ a(a+z)>(a+x)(a+y) $$

すなわち

$$ a^2+az>a^2+a(x+y)+xy $$

より

$$ a(z-x-y)>xy $$

を得る。ここで $x,y\ge 0$ であるから

$$ xy\ge 0 $$

である。

また、もし $a=0$ ならば $b,c,d\ge 0$ となり $ad=0$ だから、$ad>bc$ は成り立たない。したがって

$$ a\neq 0 $$

である。

そこで $a$ の符号で場合分けする。

**(i)**

$a>0$ の場合

$$ a(z-x-y)>xy\ge 0 $$

であり、$a>0$ だから

$$ z-x-y>0 $$

となる。ゆえに

$$ a+d-(b+c)=z-x-y>0 $$

より

$$ a+d>b+c $$

である。

**(ii)**

$a<0$ の場合

$$ a(z-x-y)>xy\ge 0 $$

であり、$a<0$ だから

$$ z-x-y<0 $$

となる。したがって

$$ a+d-(b+c)=z-x-y<0 $$

より

$$ a+d<b+c $$

である。

以上より、結論は $a$ の符号によって分かれる。

解説

この問題では、$a$ が最小であることを

$$ b=a+x,\quad c=a+y,\quad d=a+z\qquad (x,y,z\ge 0) $$

と表すのが基本方針である。これにより、比較したい量の差が

$$ a+d-(b+c)=z-x-y $$

と簡単になる。

さらに、条件 $ad>bc$ は

$$ a(z-x-y)>xy $$

と変形できる。右辺は $xy\ge 0$ であるから、$z-x-y$ の符号は $a$ の符号と一致する。したがって、この問題は $a+d$ と $b+c$ の大小が一意に定まるのではなく、$a$ の正負で結論が変わることが本質である。

答え

$a>0$ なら

$$ a+d>b+c $$

であり、$a<0$ なら

$$ a+d<b+c $$

である。したがって、与えられた条件だけでは $a+d$ と $b+c$ の大小は一意には定まらない。