基礎問題集
数学2 式と証明「不等式の証明」の問題4 解説
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解説
方針・初手
左辺は $(a-b)(c-d)$ であり、これが負であれば、右辺 $|ac-bd|$ は絶対値なので常に $0$ 以上であるから不等式はただちに成り立つ。
したがって、本質的なのは $(a-b)$ と $(c-d)$ が同符号である場合である。そこで
**(i)**
$a\ge b,\ c\ge d$
**(ii)**
$a\le b,\ c\le d$
の2つに分けて示す。
解法1
まず、$(a-b)(c-d)<0$ の場合を考える。このとき
$$ (a-b)(c-d)<0\le |ac-bd| $$
であるから、不等式
$$ (a-b)(c-d)\le |ac-bd| $$
は成り立つ。
以下、$(a-b)(c-d)\ge0$ の場合を考える。
**(i)**
$a\ge b,\ c\ge d$ のとき
$$ ac-bd=a(c-d)+d(a-b)\ge0 $$
であるから、
$$ |ac-bd|=ac-bd $$
となる。よって
$$ \begin{aligned} |ac-bd|-(a-b)(c-d) &=(ac-bd)-(ac-ad-bc+bd)\\ &=ad+bc-2bd\\ &=d(a-b)+b(c-d)\ge0. \end{aligned} $$
したがって
$$ (a-b)(c-d)\le |ac-bd| $$
が成り立つ。
**(ii)**
$a\le b,\ c\le d$ のとき
$$ ac-bd=a(c-d)+d(a-b)\le0 $$
であるから、
$$ |ac-bd|=bd-ac $$
となる。そこで
$$ \begin{aligned} |ac-bd|-(a-b)(c-d) &=(bd-ac)-(ac-ad-bc+bd)\\ &=ad+bc-2ac\\ &=a(d-c)+c(b-a)\ge0. \end{aligned} $$
よってこの場合も
$$ (a-b)(c-d)\le |ac-bd| $$
が成り立つ。
以上より、すべての正数 $a,b,c,d$ に対して
$$ (a-b)(c-d)\le |ac-bd| $$
が成立する。
解説
この問題の要点は、左辺の符号に注目することである。$(a-b)$ と $(c-d)$ の符号が異なれば左辺は負になり、右辺は絶対値なので自明になる。
したがって、差が同じ向きに並ぶ場合だけを調べれば十分である。そのとき $ac-bd$ の符号も
$$ ac-bd=a(c-d)+d(a-b) $$
によって決まり、絶対値を外せる。あとは差を取って、非負の量の和に直せば終わる。
答え
$$ (a-b)(c-d)\le |ac-bd| $$
は、すべての正数 $a,b,c,d$ に対して成立する。