解説

方針・初手

不等式

$$ x^2+y^2\ge axy $$

は、左辺から右辺を移して

$$ x^2-axy+y^2\ge 0 $$

と見ると、$x,y$ に関する2次式である。

（1） では $x,y$ が任意の実数なので、$xy$ は正にも負にもなりうる。このため $y=x,\ y=-x$ などの代表的な代入で必要条件を出し、その条件が十分でもあることを示す。

（2） では $x,y>0$ なので $xy>0$ である。この符号条件を使うと、（1） よりも条件が緩くなる。

解法1

（1） すべての実数 $x,y$ に対して成り立つ場合

まず必要条件を調べる。

$x=y\ (\neq 0)$ とすると、

$$ x^2+x^2\ge ax^2 $$

すなわち

$$ 2x^2\ge ax^2 $$

であるから、

$$ a\le 2 $$

を得る。

次に $y=-x\ (\neq 0)$ とすると、

$$ x^2+(-x)^2\ge a\cdot x\cdot (-x) $$

より

$$ 2x^2\ge -ax^2 $$

したがって

$$ a\ge -2 $$

を得る。

以上より必要条件は

$$ -2\le a\le 2 $$

である。

次にこれが十分条件であることを示す。

$-2\le a\le 2$ のとき、任意の実数 $x,y$ に対して

$$ -2xy\le axy\le 2xy $$

が成り立つとは限らないように見えるが、$xy$ の符号に応じて次のように処理すればよい。

**(i)**

$xy\ge 0$ のとき

$a\le 2$ より $axy\le 2xy$ である。したがって

$$ x^2+y^2\ge 2xy\ge axy $$

となる。ここで $x^2+y^2\ge 2xy$ は

$$ (x-y)^2\ge 0 $$

による。

**(ii)**

$xy<0$ のとき

$a\ge -2$ かつ $xy<0$ であるから、不等号の向きに注意して

$$ axy\le -2xy $$

となる。よって

$$ x^2+y^2\ge -2xy\ge axy $$

が成り立つ。ここで $x^2+y^2\ge -2xy$ は

$$ (x+y)^2\ge 0 $$

による。

以上より、$-2\le a\le 2$ ならば不等式はすべての実数 $x,y$ に対して成り立つ。

したがって求める範囲は

$$ -2\le a\le 2 $$

である。

（2） すべての正の実数 $x,y$ に対して成り立つ場合

このとき $x>0,\ y>0$ より

$$ xy>0 $$

である。

まず必要条件を調べるために $x=y\ (\neq 0)$ とすると、

$$ 2x^2\ge ax^2 $$

より

$$ a\le 2 $$

を得る。

次にこれが十分であることを示す。

$a\le 2$ で、しかも $xy>0$ だから

$$ axy\le 2xy $$

である。一方、

$$ x^2+y^2\ge 2xy $$

が常に成り立つので、

$$ x^2+y^2\ge 2xy\ge axy $$

となる。

よって、すべての正の実数 $x,y$ に対して不等式が成り立つための条件は

$$ a\le 2 $$

である。

解説

この問題の本質は、$x^2+y^2\ge 2xy$ と $x^2+y^2\ge -2xy$ の両方が成り立つことにある。

実際、

$$ x^2+y^2\ge 2xy \iff (x-y)^2\ge 0 $$

$$ x^2+y^2\ge -2xy \iff (x+y)^2\ge 0 $$

である。

（1） では $xy$ が正にも負にもなるので、$axy$ が取りうる範囲を両側から抑える必要があり、その結果 $a$ は $-2$ から $2$ の間に限られる。

一方、（2） では $x,y>0$ なので $xy>0$ である。このため $a$ が小さい方向には制限がなく、上からの条件 $a\le 2$ だけが残る。

答え

**(1)**

すべての実数 $x,y$ に対して

$$ x^2+y^2\ge axy $$

が成り立つのは

$$ -2\le a\le 2 $$

のときである。

**(2)**

すべての正の実数 $x,y$ に対して

$$ x^2+y^2\ge axy $$

が成り立つのは

$$ a\le 2 $$

のときである。