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数学2 式と証明「不等式の証明」の問題7 解説

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数学2式と証明不等式の証明問題7

解説

画像の式をそのまま読むと、示すべき不等式は

$$ \frac{a+b}{2}+\frac{x+y}{2}\leqq \frac{ax+by}{2} $$

である。しかし、この命題は仮定 $a\geqq b,\ x\geqq y$ だけでは一般には成り立たない。したがって、証明ではなく反例を確認する。

例えば

$$ a=2,\quad b=1,\quad x=2,\quad y=1 $$

とおく。このとき

$$ a\geqq b,\qquad x\geqq y $$

は満たしている。

ところが、

$$ \frac{a+b}{2}+\frac{x+y}{2} =\frac{2+1}{2}+\frac{2+1}{2} =3 $$

であり、

$$ \frac{ax+by}{2} =\frac{2\cdot2+1\cdot1}{2} =\frac52 $$

である。したがって

$$ 3\leqq \frac52 $$

は成り立たない。

よって、画像通りの不等式は一般には成立しない。

仮定 $a\geqq b,\ x\geqq y$ から自然に導ける標準的な不等式は

$$ \frac{a+b}{2}\cdot\frac{x+y}{2}\leqq \frac{ax+by}{2} $$

である。この場合は

$$ 2(ax+by)-(a+b)(x+y)=(a-b)(x-y)\geqq0 $$

より成立する。

しかし、画像では左辺が積ではなく和として読めるため、そのままでは上の反例により不成立である。

画像通りの

$$ \frac{a+b}{2}+\frac{x+y}{2}\leqq \frac{ax+by}{2} $$

は成り立たない。反例は

$$ a=2,\quad b=1,\quad x=2,\quad y=1 $$

である。