解説

方針・初手

右辺に $y-z$ が現れているので、

$$ u=\frac{y-z}{\sqrt{2}},\quad v=\frac{y+z}{\sqrt{2}} $$

とおくのが自然である。すると $y^2+z^2=u^2+v^2$ となり、不等式は $x,u,v$ に関する二次式に直せる。あとは、その二次式がすべての実数に対して常に $0$ 以上となる条件を調べればよい。

解法1

$$ u=\frac{y-z}{\sqrt{2}},\quad v=\frac{y+z}{\sqrt{2}} $$

とおくと、

$$ y-z=\sqrt{2}u,\qquad y^2+z^2=u^2+v^2 $$

であるから、与えられた不等式

$$ x^2+y^2+z^2\ge t\,x(y-z) $$

は

$$ x^2+u^2+v^2\ge \sqrt{2}t\,xu $$

すなわち

$$ x^2-\sqrt{2}t\,xu+u^2+v^2\ge 0 $$

となる。

ここで $v^2\ge 0$ であるから、この不等式がすべての実数 $x,u,v$ に対して成り立つための必要十分条件は、

$$ x^2-\sqrt{2}t\,xu+u^2\ge 0 $$

がすべての実数 $x,u$ に対して成り立つことである。

そこで平方完成すると、

$$ \begin{aligned} x^2-\sqrt{2}t\,xu+u^2 &=\left(x-\frac{t}{\sqrt{2}}u\right)^2+\left(1-\frac{t^2}{2}\right)u^2 \end{aligned} $$

となる。

この式がすべての実数 $x,u$ に対して常に $0$ 以上となるためには、

$$ 1-\frac{t^2}{2}\ge 0 $$

でなければならず、またこれが成り立てば実際に常に $0$ 以上である。

したがって、

$$ t^2\le 2 $$

すなわち

$$ -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} $$

である。

解法2

コーシー・シュワルツの不等式を用いると、

$$ |y-z|\le \sqrt{2}\sqrt{y^2+z^2} $$

であるから、

$$ |x(y-z)|\le |x|\sqrt{2}\sqrt{y^2+z^2} $$

を得る。

ここで $A=x^2,\ B=y^2+z^2$ とおけば、相加平均・相乗平均の関係より

$$ 2\sqrt{AB}\le A+B $$

であるから、

$$ \sqrt{2}|x|\sqrt{y^2+z^2}\le \frac{x^2+y^2+z^2}{\sqrt{2}} $$

となる。よって

$$ |x(y-z)|\le \frac{x^2+y^2+z^2}{\sqrt{2}} $$

すなわち

$$ -\frac{x^2+y^2+z^2}{\sqrt{2}} \le x(y-z)\le \frac{x^2+y^2+z^2}{\sqrt{2}} $$

が成り立つ。

したがって $|t|\le \sqrt{2}$ ならば、

$$ t\,x(y-z)\le |t|\,|x(y-z)|\le x^2+y^2+z^2 $$

となり、求める不等式はすべての実数 $x,y,z$ に対して成り立つ。

逆に $t>\sqrt{2}$ とすると、

$$ x=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad y=\frac{1}{2},\quad z=-\frac{1}{2} $$

とおけば

$$ x^2+y^2+z^2=1,\qquad x(y-z)=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

であるから、

$$ t\,x(y-z)=\frac{t}{\sqrt{2}}>1=x^2+y^2+z^2 $$

となって不等式は成り立たない。

また $t<-\sqrt{2}$ のときも、上の値の符号を適宜変えれば同様に不成立となる。

よってやはり

$$ -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、右辺の $y-z$ に着目して変数変換することである。$y-z$ と $y+z$ を新しい変数にとると、左辺の $y^2+z^2$ がきれいに分離され、結局は $2$ 変数の二次式が常に非負となる条件に帰着する。

別解では、まず $x(y-z)$ の大きさを左辺でどこまで抑えられるかを評価している。こちらは「与えられた式の中の積を、二乗和で評価する」という典型処理であり、不等式問題で非常に使いやすい発想である。

答え

$$ -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} $$