解説

方針・初手

$ \displaystyle \frac{t}{1+t} $ という形は、$t\geqq 0$ で単調増加であることをまず示すのが自然である。

そのうえで、（2） の三角不等式 $|a+b|\leqq |a|+|b|$ を用いれば、（3） は

$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} $$

を

$$ \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} $$

でおさえ、最後は直接計算で処理できる。

解法1

**(1)**

$0\leqq x\leqq y$ であるから、$1+x>0,\ 1+y>0$ である。

ここで差をとると、

$$ \frac{y}{1+y}-\frac{x}{1+x} =\frac{y(1+x)-x(1+y)}{(1+x)(1+y)} =\frac{y-x}{(1+x)(1+y)} $$

となる。

分母は正であり、また $y-x\geqq 0$ であるから、

$$ \frac{y}{1+y}-\frac{x}{1+x}\geqq 0 $$

したがって、

$$ \frac{x}{1+x}\leqq \frac{y}{1+y} $$

が成り立つ。

**(2)**

両辺とも $0$ 以上であるから、両辺を2乗して比較すればよい。

$$ |a+b|^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$

一方、$ab\leqq |a||b|$ であるから、

$$ a^2+2ab+b^2\leqq a^2+2|a||b|+b^2=(|a|+|b|)^2 $$

よって、

$$ |a+b|^2\leqq (|a|+|b|)^2 $$

両辺とも $0$ 以上なので平方根をとれば、

$$ |a+b|\leqq |a|+|b| $$

を得る。

**(3)**

（2） より

$$ |a+b|\leqq |a|+|b| $$

であり、$|a+b|\geqq 0,\ |a|+|b|\geqq 0$ であるから、（1） を

$$ x=|a+b|,\qquad y=|a|+|b| $$

として用いると、

$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqq \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} $$

となる。

したがって、あとは

$$ \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} \leqq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $$

を示せばよい。

ここで $s=|a|,\ t=|b|$ とおくと、$s,t\geqq 0$ であり、

$$ \frac{s}{1+s}+\frac{t}{1+t}-\frac{s+t}{1+s+t} = \frac{st(s+t+2)}{(1+s)(1+t)(1+s+t)} $$

となる。

右辺は $s,t\geqq 0$ より明らかに $0$ 以上であるから、

$$ \frac{s+t}{1+s+t}\leqq \frac{s}{1+s}+\frac{t}{1+t} $$

すなわち、

$$ \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} \leqq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $$

が成り立つ。

以上を合わせて、

$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $$

を得る。

解説

（1） は $ \displaystyle \frac{t}{1+t} $ が $t\geqq 0$ で増加することを、差をとって確かめる問題である。

（2） は三角不等式そのものであり、高校範囲では2乗して示すのが基本である。

（3） は一見複雑であるが、本質は

$$ |a+b|\leqq |a|+|b| $$

を使って左辺を大きい量でおさえ、その後の処理を直接計算することである。すなわち、（1） と （2） を組み合わせるのが要点である。

答え

**(1)**

$$ \frac{x}{1+x}\leqq \frac{y}{1+y} $$

**(2)**

$$ |a+b|\leqq |a|+|b| $$

**(3)**

$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $$

以上より、3つの不等式はいずれも成り立つ。