解説

方針・初手

1つ目は恒等式による因数分解で示すのが最も速い。

2つ目は、1つ目の不等式を $x,y,z$ ではなく $\sqrt[3]{x},\sqrt[3]{y},\sqrt[3]{z}$ に適用すれば直ちに従う。

解法1

まず

$$ x^3+y^3+z^3-3xyz $$

を因数分解する。よく知られた恒等式

$$ x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) $$

が成り立つ。

さらに

$$ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx =\frac{1}{2}\left\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right\} $$

であるから、

$$ x^3+y^3+z^3-3xyz =\frac{x+y+z}{2}\left\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right\} $$

となる。

ここで $x,y,z$ は正の実数なので $x+y+z>0$ であり、また平方の和は常に $0$ 以上である。したがって

$$ x^3+y^3+z^3-3xyz\geqq 0 $$

すなわち

$$ x^3+y^3+z^3\geqq 3xyz $$

が示された。

次に、今示した不等式を

$$ a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{y},\quad c=\sqrt[3]{z} $$

に対して適用する。すると

$$ a^3+b^3+c^3\geqq 3abc $$

より

$$ x+y+z\geqq 3\sqrt[3]{xyz} $$

となる。両辺を $3$ で割れば

$$ \frac{x+y+z}{3}\geqq \sqrt[3]{xyz} $$

を得る。

以上で両方の不等式が示された。

解説

1つ目の不等式は、対称式 $x^3+y^3+z^3-3xyz$ を因数分解して、平方の和に持ち込むのが典型である。

2つ目は相加平均と相乗平均の関係そのものであるが、この問題では1つ目を立方根に対して適用すると自然に導ける。2つの不等式が独立ではなく、前者から後者が従うという構造を押さえておくとよい。

なお、いずれの不等式でも等号成立は $x=y=z$ のときである。

答え

$$ x^3+y^3+z^3-3xyz =\frac{x+y+z}{2}\left\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right\}\geqq 0 $$

より

$$ x^3+y^3+z^3\geqq 3xyz $$

が成り立つ。

また、これを $\sqrt[3]{x},\sqrt[3]{y},\sqrt[3]{z}$ に適用すると

$$ x+y+z\geqq 3\sqrt[3]{xyz} $$

となるので、

$$ \frac{x+y+z}{3}\geqq \sqrt[3]{xyz} $$

が成り立つ。