解説

方針・初手

3つの数をそれぞれ

$$ x=\frac{a+2}{a+1},\qquad y=\frac{a}{2}+\frac{1}{a},\qquad z=\sqrt{2} $$

とおく。

条件 $a>\sqrt{2}$ を用いて、まず $x$ と $\sqrt{2}$、次に $y$ と $\sqrt{2}$ を比較すればよい。$\sqrt{2}$ を真ん中にできれば、大小関係が一度に決まる。

解法1

まず

$$ x-\sqrt{2} =\frac{a+2}{a+1}-\sqrt{2} =\frac{a+2-\sqrt{2}(a+1)}{a+1} $$

である。

ここで分子を整理すると

$$ a+2-\sqrt{2}(a+1) =(1-\sqrt{2})a+(2-\sqrt{2}) $$

となる。さらに

$$ 2-\sqrt{2}=\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) $$

より、

$$ a+2-\sqrt{2}(a+1) =-(\sqrt{2}-1)a+\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) =(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-a) $$

となる。したがって

$$ x-\sqrt{2} =\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-a)}{a+1} $$

である。

$a>\sqrt{2}$ だから $\sqrt{2}-a<0$ であり、また $\sqrt{2}-1>0,\ a+1>0$ なので

$$ x-\sqrt{2}<0 $$

すなわち

$$ \frac{a+2}{a+1}<\sqrt{2} $$

である。

次に

$$ y-\sqrt{2} =\frac{a}{2}+\frac{1}{a}-\sqrt{2} =\frac{a^2+2-2\sqrt{2}a}{2a} $$

であり、分子は

$$ a^2-2\sqrt{2}a+2=(a-\sqrt{2})^2 $$

だから

$$ y-\sqrt{2} =\frac{(a-\sqrt{2})^2}{2a} $$

となる。

ここで $a>\sqrt{2}>0$ より $2a>0$ であり、さらに $a\neq \sqrt{2}$ だから $(a-\sqrt{2})^2>0$ である。よって

$$ y-\sqrt{2}>0 $$

すなわち

$$ \sqrt{2}<\frac{a}{2}+\frac{1}{a} $$

である。

以上より

$$ \frac{a+2}{a+1}<\sqrt{2}<\frac{a}{2}+\frac{1}{a} $$

となる。

解法2

まず

$$ \frac{a+2}{a+1}=1+\frac{1}{a+1} $$

であるから、これが $\sqrt{2}$ より小さいことを示す。

$$ 1+\frac{1}{a+1}<\sqrt{2} $$

は

$$ \frac{1}{a+1}<\sqrt{2}-1 $$

と同値である。両辺とも正なので逆数をとると

$$ a+1>\frac{1}{\sqrt{2}-1} =\sqrt{2}+1 $$

となる。したがって

$$ a>\sqrt{2} $$

を得る。これは条件そのものであるから、

$$ \frac{a+2}{a+1}<\sqrt{2} $$

である。

次に

$$ \frac{a}{2}+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{2}\cdot\frac{1}{a}}=\sqrt{2} $$

が相加平均・相乗平均の関係から成り立つ。

等号成立は

$$ \frac{a}{2}=\frac{1}{a} $$

すなわち

$$ a^2=2,\qquad a=\sqrt{2} $$

のときである。しかし条件は $a>\sqrt{2}$ なので等号は成り立たず、

$$ \frac{a}{2}+\frac{1}{a}>\sqrt{2} $$

となる。

よって

$$ \frac{a+2}{a+1}<\sqrt{2}<\frac{a}{2}+\frac{1}{a} $$

である。

解説

この問題では、3つを直接1組ずつ比較する必要はない。$\sqrt{2}$ を基準にして両側から比較すればよい。

$\frac{a}{2}+\frac{1}{a}$ は相加平均・相乗平均で処理しやすく、$\frac{a+2}{a+1}$ は $1+\frac{1}{a+1}$ と変形すると $\sqrt{2}-1$ との比較に落とし込める。条件 $a>\sqrt{2}$ がそのまま効く形に直すのがポイントである。

答え

$$ \frac{a+2}{a+1},\ \sqrt{2},\ \frac{a}{2}+\frac{1}{a} $$

の順で小さい。