解説

方針・初手

（1） は左辺から右辺を引いて、差を平方の和に直すのが基本である。

（2） は （1） の結果を

$$ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) $$

に代入して評価する。条件 $x+y+z=1$ が与えられているので、$x^2+y^2+z^2$ を $xy+yz+zx$ と比較できれば上限が出る。

解法1

**(1)**

左辺から右辺を引くと、

$$ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx $$

である。これを変形すると、

$$ \begin{aligned} 2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) &=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx =\frac{1}{2}\bigl\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\bigr\}\geqq 0 $$

である。

よって、

$$ x^2+y^2+z^2\geqq xy+yz+zx $$

が成り立つ。

等号が成り立つのは、

$$ (x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0 $$

すなわち

$$ x=y=z $$

のとき、かつそのときに限る。

**(2)**

条件 $x+y+z=1$ より、

$$ (x+y+z)^2=1 $$

である。一方、

$$ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) $$

だから、

$$ 1=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) $$

を得る。

ここで （1） より

$$ x^2+y^2+z^2\geqq xy+yz+zx $$

であるから、

$$ 1=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\geqq 3(xy+yz+zx) $$

となる。したがって、

$$ xy+yz+zx\leqq \frac{1}{3} $$

である。

次に等号成立条件を調べる。上の不等式で等号が成り立つには、

$$ x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx $$

でなければならない。（1） より、これは

$$ x=y=z $$

と同値である。

さらに $x+y+z=1$ より、

$$ 3x=1 $$

であるから、

$$ x=y=z=\frac{1}{3} $$

となる。

解説

この問題の核心は、対称式

$$ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx $$

を平方の和に直すことである。これにより （1） の不等式と等号条件が同時に分かる。

（2） では $x+y+z=1$ という条件から $(x+y+z)^2$ を展開し、（1） の結果を代入するだけで上限が出る。等号条件も、どこで等号を使ったかを追えば自然に $x=y=z$ に絞られる。

答え

**(1)**

$$ x^2+y^2+z^2\geqq xy+yz+zx $$

等号成立条件は

$$ x=y=z $$

である。

**(2)**

$$ xy+yz+zx\leqq \frac{1}{3} $$

等号成立は

$$ x=y=z=\frac{1}{3} $$

のときである。