解説

方針・初手

（1） は、左辺と右辺の差を直接とればよい。条件 $0 \le p \le q$ から分母は正であり、符号判定がしやすい。

（2） は、$f(x)=\dfrac{x}{1+x}$ を $x \ge 0$ で考えると見通しがよい。三角不等式 $|p+q| \le |p|+|q|$ を使ってまず左辺を $\dfrac{|p|+|q|}{1+|p|+|q|}$ でおさえ、そのあと

$$ \frac{a+b}{1+a+b} \le \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b} \quad (a,b \ge 0) $$

を示せばよい。

解法1

**(1)**

与えられた条件 $0 \le p \le q$ より、$1+p>0,\ 1+q>0$ である。

したがって差をとると

$$ \begin{aligned} \frac{q}{1+q}-\frac{p}{1+p} &= \frac{q(1+p)-p(1+q)}{(1+p)(1+q)}\\ &= \frac{q-p}{(1+p)(1+q)}. \end{aligned} $$

ここで $q-p \ge 0$ かつ $(1+p)(1+q)>0$ であるから、

$$ \frac{q}{1+q}-\frac{p}{1+p} \ge 0. $$

ゆえに

$$ \frac{p}{1+p} \le \frac{q}{1+q} $$

が成り立つ。

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**(2)**

三角不等式より

$$ |p+q| \le |p|+|q|. $$

また $|p+q|,\ |p|+|q| \ge 0$ であるから、（1） の結果を $p=|p+q|,\ q=|p|+|q|$ に適用して

$$ \frac{|p+q|}{1+|p+q|} \le \frac{|p|+|q|}{1+|p|+|q|}. $$

そこで $a=|p|,\ b=|q|$ とおくと、示すべきことは

$$ \frac{a+b}{1+a+b} \le \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b} \quad (a,b \ge 0) $$

となる。

右辺から左辺を引くと

$$ \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{a+b}{1+a+b} = \frac{ab(a+b+2)}{(1+a)(1+b)(1+a+b)}. $$

$a,b \ge 0$ であるから、右辺は $0$ 以上である。よって

$$ \frac{a+b}{1+a+b} \le \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}. $$

これに $a=|p|,\ b=|q|$ を戻せば

$$ \frac{|p|+|q|}{1+|p|+|q|} \le \frac{|p|}{1+|p|}+\frac{|q|}{1+|q|}. $$

したがって

$$ \frac{|p+q|}{1+|p+q|} \le \frac{|p|}{1+|p|}+\frac{|q|}{1+|q|} $$

が成り立つ。

解説

（1） は単調性の主張であり、実際 $\dfrac{x}{1+x}$ は $x \ge 0$ で増加する。そのことを高校数学の範囲で最も素直に示したのが差をとる方法である。

（2） では、いきなり絶対値つきの式を変形するよりも、まず三角不等式で $|p+q|$ を $|p|+|q|$ に置き換えるのが基本である。そのあと $\dfrac{x}{1+x}$ が「和に対して劣加法的」 すなわち

$$ \frac{a+b}{1+a+b} \le \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b} $$

を満たすことを示せばよい。絶対値の問題を、非負数 $a,b$ の代数的不等式に落とすのが要点である。

答え

**(1)**

$$ \frac{p}{1+p} \le \frac{q}{1+q} $$

**(2)**

$$ \frac{|p+q|}{1+|p+q|} \le \frac{|p|}{1+|p|}+\frac{|q|}{1+|q|} $$

が成り立つ。