解説

方針・初手

与えられている条件

$$ \frac{c}{d}<\frac{a}{b} $$

は、正の整数 $a,b,c,d$ に対して

$$ bc<ad $$

と同値である。 （1） はこの不等式をそのまま通分して示せばよい。

（2） は

$$ \frac{c}{d}<\frac{y}{x}<\frac{a}{b} $$

から $ax-by,\ dy-cx$ の符号を調べ、その後で $ad-bc=1$ を用いて $x,y$ をこれらで表すのが自然である。

解法1

**(1)**

まず

$$ \frac{c}{d}<\frac{a}{b} $$

より、$b,d>0$ であるから交差積をとって

$$ bc<ad $$

を得る。

次に

$$ \frac{a+c}{b+d}<\frac{a}{b} $$

を示す。$b(b+d)>0$ なので、これは

$$ b(a+c)<a(b+d) $$

と同値である。整理すると

$$ ab+bc<ab+ad $$

すなわち

$$ bc<ad $$

となる。これは成り立つから、

$$ \frac{a+c}{b+d}<\frac{a}{b} $$

である。

同様に

$$ \frac{c}{d}<\frac{a+c}{b+d} $$

を示す。$d(b+d)>0$ なので、これは

$$ c(b+d)<d(a+c) $$

と同値である。整理すると

$$ bc+cd<ad+cd $$

すなわち

$$ bc<ad $$

となる。これも成り立つから、

$$ \frac{c}{d}<\frac{a+c}{b+d} $$

である。

以上より

$$ \frac{c}{d}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{a}{b} $$

が成り立つ。

**(2)**

条件

$$ \frac{c}{d}<\frac{y}{x}<\frac{a}{b} $$

より、$x,b,d>0$ であるから交差積をとって

$$ cx<dy,\qquad by<ax $$

を得る。したがって

$$ dy-cx>0,\qquad ax-by>0 $$

である。

しかも $a,b,c,d,x,y$ はすべて整数であるから、

$$ ax-by,\qquad dy-cx $$

はいずれも正の整数である。

ここで

$$ m=ax-by,\qquad n=dy-cx $$

とおくと、$m,n$ は正の整数である。

このとき

$$ dm+bn=d(ax-by)+b(dy-cx) $$

より

$$ dm+bn=adx-bdy+bdy-bcx=(ad-bc)x $$

となる。仮定 $ad-bc=1$ から

$$ x=dm+bn $$

を得る。

同様に

$$ cm+an=c(ax-by)+a(dy-cx) $$

より

$$ cm+an=acx-bcy+ady-acx=(ad-bc)y $$

となるので、

$$ y=cm+an $$

である。

$m,n$ は正の整数だから $m\geqq 1,\ n\geqq 1$ であり、

$$ x=dm+bn\geqq d+b $$

すなわち

$$ b+d\leqq x $$

を得る。

また

$$ y=cm+an\geqq c+a $$

すなわち

$$ a+c\leqq y $$

を得る。

よって示すべきことはすべて成り立つ。

解説

（1） は、いわゆる中項分数の基本性質である。 $\dfrac{c}{d}<\dfrac{a}{b}$ から得られる $bc<ad$ が、両側の不等式にそのまま現れることを確認すればよい。

（2） の本質は、間にある分数 $\dfrac{y}{x}$ に対して

$$ ax-by,\qquad dy-cx $$

を考える点にある。これらは「上側の分数との差」「下側の分数との差」に対応しており、間にあることから正になる。さらに $ad-bc=1$ を使うと $x,y$ がこの2つの正整数の線形結合として表されるため、すぐに

$$ x\geqq b+d,\qquad y\geqq a+c $$

が従う。

答え

**(1)**

$$ \frac{c}{d}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{a}{b} $$

が成り立つ。

**(2)**

$$ ax-by,\quad dy-cx $$

はいずれも正の整数であり、さらに

$$ b+d\leqq x,\qquad a+c\leqq y $$

が成り立つ。