解説

方針・初手

各目 $i$ が出る確率を $p_i$ とおくと、

$$ p_i \geqq 0 \quad (i=1,2,\dots,6), \qquad p_1+p_2+\cdots+p_6=1 $$

である。

このとき

$$ P=p_1^2+p_2^2+\cdots+p_6^2 $$

であり、また奇数の目が出る確率を

$$ a=p_1+p_3+p_5 $$

偶数の目が出る確率を

$$ b=p_2+p_4+p_6 $$

とおけば $a+b=1$ で、

$$ Q=ab $$

と表せる。したがって、$P$ は「2乗和」、$Q$ は「2つの和の積」として処理すればよい。

解法1

（1） $P \geqq \dfrac{1}{6}$ を示し、等号成立条件を求める

$P=p_1^2+p_2^2+\cdots+p_6^2$ であるから、相加平均と二乗平均の関係、あるいは Cauchy-Schwarz の不等式より

$$ (p_1+p_2+\cdots+p_6)^2 \leqq 6(p_1^2+p_2^2+\cdots+p_6^2) $$

が成り立つ。

ここで $p_1+p_2+\cdots+p_6=1$ なので、

$$ 1 \leqq 6P $$

すなわち

$$ P \geqq \frac{1}{6} $$

を得る。

次に等号成立条件を調べる。上の不等式で等号が成り立つのは

$$ p_1=p_2=\cdots=p_6 $$

のとき、かつそのときに限る。さらに総和が $1$ であるから、

$$ p_1=p_2=\cdots=p_6=\frac{1}{6} $$

である。

したがって、等号 $P=\dfrac{1}{6}$ が成り立つための必要十分条件は

$$ p_1=p_2=\cdots=p_6=\frac{1}{6} $$

すなわち各目の出る確率がすべて等しいことである。

（2） $\dfrac{1}{4} \geqq Q \geqq \dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}P$ を示す

まず $Q=ab,\ a+b=1$ であるから、

$$ Q=ab \leqq \left( \frac{a+b}{2} \right)^2=\frac{1}{4} $$

より

$$ Q \leqq \frac{1}{4} $$

である。

次に下界を示す。

奇数の目に対応する確率 $p_1,p_3,p_5$ について、（1） と同様に

$$ (p_1+p_3+p_5)^2 \leqq 3(p_1^2+p_3^2+p_5^2) $$

すなわち

$$ a^2 \leqq 3(p_1^2+p_3^2+p_5^2) $$

が成り立つ。同様に偶数の目についても

$$ b^2 \leqq 3(p_2^2+p_4^2+p_6^2) $$

が成り立つ。

この2式を加えると

$$ a^2+b^2 \leqq 3(p_1^2+p_2^2+\cdots+p_6^2)=3P $$

となる。ここで

$$ a+b=1 $$

より

$$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2Q $$

だから、

$$ 1-2Q \leqq 3P $$

すなわち

$$ Q \geqq \frac{1-3P}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}P $$

を得る。

以上より

$$ \frac{1}{4} \geqq Q \geqq \frac{1}{2}-\frac{3}{2}P $$

が成り立つ。

解説

この問題の本質は、各目の確率を $p_1,\dots,p_6$ とおいて式に直すことである。

$P$ は確率の二乗和であり、総和が $1$ に固定されたとき最小になるのは、6個がすべて等しいときである。これが （1） の内容である。

一方 $Q$ は「奇数が出る確率」と「偶数が出る確率」の積であるから、まず $a+b=1$ を使って $Q \leqq \dfrac14$ が出る。また下界は、奇数3個・偶数3個それぞれに対して二乗和の評価を入れることで $P$ と結びつく。このように、確率をまとめて新しい文字で置き換えるのが有効である。

答え

**(1)**

$$ P \geqq \frac{1}{6} $$

である。等号 $P=\dfrac16$ が成り立つための必要十分条件は

$$ p_1=p_2=\cdots=p_6=\frac{1}{6} $$

すなわち各目の出る確率がすべて等しいことである。

**(2)**

$$ \frac{1}{4} \geqq Q \geqq \frac{1}{2}-\frac{3}{2}P $$

が成り立つ。