解説

方針・初手

（1） は両辺を展開して差をとれば、平方の形に直せる。

（2） は （1） を2回用いて2個ずつまとめ、最後にもう一度 （1） を適用すれば示せる。 また、$1+a,1+b,1+c,1+d\geqq 0$ であることから、相加平均・相乗平均の関係として見ることもできる。

解法1

（1） の証明

右辺から左辺を引くと、

$$ \left(1+\frac{x+y}{2}\right)^2-(1+x)(1+y) $$

$$ =1+x+y+\frac{(x+y)^2}{4}-(1+x+y+xy) $$

$$ =\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{4} =\frac{(x-y)^2}{4}\geqq 0 $$

となる。

したがって、

$$ (1+x)(1+y)\leqq \left(1+\frac{x+y}{2}\right)^2 $$

が成り立つ。

等号成立は

$$ \frac{(x-y)^2}{4}=0 $$

すなわち

$$ x=y $$

のときである。

（2） の証明

（1） を $(a,b)$ に適用すると、

$$ (1+a)(1+b)\leqq \left(1+\frac{a+b}{2}\right)^2 $$

同様に $(c,d)$ に適用すると、

$$ (1+c)(1+d)\leqq \left(1+\frac{c+d}{2}\right)^2 $$

よって両式を掛け合わせて、

$$ (1+a)(1+b)(1+c)(1+d) \leqq \left\{\left(1+\frac{a+b}{2}\right)\left(1+\frac{c+d}{2}\right)\right\}^2 $$

ここで

$$ x=\frac{a+b}{2},\qquad y=\frac{c+d}{2} $$

とおくと、$a,b,c,d\geqq -1$ だから $x,y\geqq -1$ であり、特に $1+x,1+y\geqq 0$ である。したがって再び （1） を適用して、

$$ \left(1+\frac{a+b}{2}\right)\left(1+\frac{c+d}{2}\right) \leqq \left(1+\frac{a+b+c+d}{4}\right)^2 $$

これを2乗して、

$$ \left\{\left(1+\frac{a+b}{2}\right)\left(1+\frac{c+d}{2}\right)\right\}^2 \leqq \left(1+\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4 $$

以上より、

$$ (1+a)(1+b)(1+c)(1+d) \leqq \left(1+\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4 $$

が成り立つ。

等号が成り立つためには、上で用いた3回の不等式がすべて等号でなければならない。 したがって

$$ a=b,\qquad c=d,\qquad \frac{a+b}{2}=\frac{c+d}{2} $$

が必要十分であり、結局

$$ a=b=c=d $$

のときに限り等号が成り立つ。

解法2

（2） は相加平均・相乗平均の不等式から直接示してもよい。

$a,b,c,d\geqq -1$ なので

$$ 1+a,\ 1+b,\ 1+c,\ 1+d\geqq 0 $$

である。よって相加平均・相乗平均の不等式より、

$$ \sqrt[4]{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)} \leqq \frac{(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)}{4} $$

すなわち、

$$ \sqrt[4]{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)} \leqq 1+\frac{a+b+c+d}{4} $$

両辺を4乗して、

$$ (1+a)(1+b)(1+c)(1+d) \leqq \left(1+\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4 $$

を得る。

等号成立は相加平均・相乗平均の等号条件より

$$ 1+a=1+b=1+c=1+d $$

すなわち

$$ a=b=c=d $$

のときである。

解説

（1） は「展開して差をとると平方になる」典型問題である。 不等式の向きが見えにくいときは、右辺 $-$ 左辺を計算すると処理しやすい。

（2） は $1+a,1+b,1+c,1+d$ の相加平均と相乗平均の関係そのものである。 ただし、この問題では （1） を利用して4変数の場合へ拡張する流れも重要である。 等号条件は、途中で使った不等式がすべて等号になる条件を丁寧に追えばよい。

答え

**(1)**

$$ (1+x)(1+y)\leqq \left(1+\frac{x+y}{2}\right)^2 $$

等号成立条件は

$$ x=y $$

である。

**(2)**

$$ (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\leqq \left(1+\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4 $$

等号成立条件は

$$ a=b=c=d $$

である。