基礎問題集
数学2 式と証明「不等式の証明」の問題17 解説
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解説
方針・初手
左辺と右辺の差
$$ a^3+b^3+3abc-c^3 $$
を因数分解する。三次式の恒等式
$$ x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) $$
に $x=a,\ y=b,\ z=-c$ を代入すれば、条件 $a+b=c$ や $a+b\ge c$ がそのまま因子 $a+b-c$ に現れる。
解法1
恒等式に $x=a,\ y=b,\ z=-c$ を代入すると、
$$ a^3+b^3+3abc-c^3=(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca) $$
を得る。
さらに第2因子は
$$ a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca =\frac{(a-b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}{2}\ge0 $$
である。
**(1)**
$a+b=c$ のときは、第1因子 $a+b-c=0$ であるから、
$$ a^3+b^3+3abc-c^3=0 $$
したがって、
$$ a^3+b^3+3abc=c^3 $$
が成り立つ。
**(2)**
$a+b\ge c$ のときは $a+b-c\ge0$ であり、第2因子も上で見たように $0$ 以上である。よって、
$$ a^3+b^3+3abc-c^3 =(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)\ge0 $$
となるので、
$$ a^3+b^3+3abc\ge c^3 $$
が成り立つ。
解説
この問題の要点は、左辺と右辺の差を作って因数分解することである。
（1） は $a+b-c=0$ を使えば直ちに終わる。
（2） は、もう一方の因子が常に $0$ 以上であることを平方和で示すのが核心である。単に （1） を展開で示すこともできるが、（2） まで一貫して処理できるという点で、この因数分解を用いる方針が有効である。
答え
**(1)**
$$ a^3+b^3+3abc-c^3=(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca) $$
より、$a+b=c$ なら $a+b-c=0$ であるから、
$$ a^3+b^3+3abc=c^3 $$
である。
**(2)**
$$ a^3+b^3+3abc-c^3=(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca) $$
かつ
$$ a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca =\frac{(a-b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}{2}\ge0 $$
である。したがって $a+b\ge c$ なら、
$$ a^3+b^3+3abc\ge c^3 $$
が成り立つ。