解説

方針・初手

（1） 2つの式の差をとり，因数分解して符号を調べる。

（2） 両辺とも正なので，3乗して大小を比べればよい。(1) の結果を $a=1,\ b=\sqrt[3]{\frac32}$ に適用すると簡潔に処理できる。

解法1

**(1)**

まず差をとると，

$$ \frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 =\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{8} $$

である。ここで，

$$ \begin{aligned} 4(a^3+b^3)-(a+b)^3 &=4a^3+4b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \\ &=3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3 \\ &=3(a^3-a^2b-ab^2+b^3) \\ &=3(a+b)(a-b)^2 \end{aligned} $$

となる。したがって，

$$ \frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 =\frac{3(a+b)(a-b)^2}{8}\geqq 0 $$

である。

$a,b$ は正数なので $a+b>0$ であり，等号成立は $(a-b)^2=0$，すなわち $a=b$ のときに限る。

よって，

$$ \frac{a^3+b^3}{2}\geqq \left(\frac{a+b}{2}\right)^3 $$

であり，$a\ne b$ のときは左辺の方が大きい。

**(2)**

(1) の結果に $a=1,\ b=\sqrt[3]{\frac32}$ を代入すると，

$$ \frac{1^3+\left(\sqrt[3]{\frac32}\right)^3}{2} \geqq \left(\frac{1+\sqrt[3]{\frac32}}{2}\right)^3 $$

すなわち，

$$ \frac{1+\frac32}{2} \geqq \left(\frac{1+\sqrt[3]{\frac32}}{2}\right)^3 $$

だから，

$$ \frac54 \geqq \left(\frac{1+\sqrt[3]{\frac32}}{2}\right)^3 $$

となる。両辺に $8$ をかけると，

$$ 10 \geqq \left(1+\sqrt[3]{\frac32}\right)^3 $$

を得る。両辺とも正であるから，3乗根をとって

$$ \sqrt[3]{10}\geqq 1+\sqrt[3]{\frac32} $$

となる。

さらに，等号成立は (1) より $1=\sqrt[3]{\frac32}$ のときに限るが，これは成り立たない。したがって不等号は真に成り立つ。

ゆえに，

$$ \sqrt[3]{10}>1+\sqrt[3]{\frac32} $$

である。

解説

(1) は平均の形をした2つの式の比較であり，差をとって因数分解するのが基本である。差が

$$ \frac{3(a+b)(a-b)^2}{8} $$

と表されれば，符号は直ちに分かる。

(2) は数値の近似で比べる必要はない。(1) の一般結果をそのまま代入すれば，厳密に大小が決まる。このように，一般形を先に示してから具体的な値に適用する流れは典型である。

答え

**(1)**

$$ \frac{a^3+b^3}{2}\geqq \left(\frac{a+b}{2}\right)^3 $$

である。等号は $a=b$ のときに限り成り立つ。したがって $a\ne b$ のとき，

$$ \frac{a^3+b^3}{2}>\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 $$

である。

**(2)**

$$ \sqrt[3]{10}>1+\sqrt[3]{\frac32} $$

である。