解説

方針・初手

$x$ と $z$ の係数が対称なので、$x+z$ と $x-z$ を用いて整理するのが有効である。

この形に直すと平方完成ができ、式が常に $0$ 以上となる条件を係数の符号条件に落とし込める。

解法1

$$ Q=ax^2+y^2+az^2-xy-yz-zx $$

とおく。

ここで

$$ s=\frac{x+z}{2},\qquad t=\frac{x-z}{2} $$

とおくと、

$$ x=s+t,\qquad z=s-t $$

である。これを $Q$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} Q &=a(s+t)^2+y^2+a(s-t)^2-(s+t)y-y(s-t)-(s+t)(s-t) \\ &=2a(s^2+t^2)+y^2-2sy-(s^2-t^2) \\ &=(2a-1)s^2-2sy+y^2+(2a+1)t^2 \\ &=(y-s)^2+(2a-2)s^2+(2a+1)t^2. \end{aligned} $$

したがって、元の文字に戻せば

$$ Q= \left(y-\frac{x+z}{2}\right)^2 +\frac{a-1}{2}(x+z)^2 +\frac{2a+1}{4}(x-z)^2 $$

となる。

よって $Q\ge 0$ が任意の実数 $x,y,z$ に対して常に成り立つためには、

$$ \frac{a-1}{2}\ge 0,\qquad \frac{2a+1}{4}\ge 0 $$

すなわち

$$ a\ge 1,\qquad a\ge -\frac12 $$

が必要十分である。結局、

$$ a\ge 1 $$

であればよい。

次に、この条件が必要であることも確認する。

$x=y=z=t$ とおくと、

$$ Q=at^2+t^2+at^2-t^2-t^2-t^2=(2a-2)t^2 $$

となる。これが任意の実数 $t$ に対して $0$ 以上であるには

$$ 2a-2\ge 0 $$

すなわち

$$ a\ge 1 $$

が必要である。

以上より、求める範囲は

$$ a\ge 1 $$

である。

解説

$x$ と $z$ が対称に現れている二次式では、$x+z,\ x-z$ でまとめると整理しやすい。実際、この問題ではその変形により式全体を平方の和に分解できる。

また、必要条件だけなら $x=y=z$ を代入すればすぐに $a\ge 1$ が出る。したがって、まず対称な代入で下限を予想し、その後に平方完成で十分性を示すのが自然な流れである。

答え

$$ a\ge 1 $$