解説

方針・初手

それぞれ、左辺と右辺の差が「明らかに $0$ 以上である形」になるように変形する。

（1） は平方完成を行えばよい。

（2） は両辺が正であることに注意して2乗し、その後は相加平均・相乗平均の関係に帰着させる。

解法1

**(1)**

与式の左辺を平方完成すると、

$$ x^2-4x+y^2+2y+5=(x-2)^2-4+(y+1)^2-1+5 $$

より、

$$ x^2-4x+y^2+2y+5=(x-2)^2+(y+1)^2 $$

となる。

平方は常に $0$ 以上であるから、

$$ (x-2)^2+(y+1)^2 \geqq 0 $$

したがって、

$$ x^2-4x+y^2+2y+5 \geqq 0 $$

が成り立つ。

等号が成立するのは、

$$ (x-2)^2=0,\quad (y+1)^2=0 $$

すなわち、

$$ x=2,\quad y=-1 $$

のときである。

**(2)**

$x>0,\ y>0$ より、$\sqrt{2(x+y)}$ も $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ もともに正である。したがって、両辺を2乗して不等号の向きは変わらない。

示すべき不等式

$$ \sqrt{2(x+y)} \geqq \sqrt{x}+\sqrt{y} $$

を2乗すると、

$$ 2(x+y)\geqq (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 $$

となる。右辺を展開して、

$$ 2x+2y \geqq x+y+2\sqrt{xy} $$

すなわち、

$$ x+y\geqq 2\sqrt{xy} $$

を示せばよい。

ところが、

$$ x+y-2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geqq 0 $$

であるから、

$$ x+y\geqq 2\sqrt{xy} $$

が成り立つ。よって、

$$ \sqrt{2(x+y)} \geqq \sqrt{x}+\sqrt{y} $$

が示された。

等号が成立するのは、

$$ (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=0 $$

すなわち、

$$ \sqrt{x}=\sqrt{y} $$

であり、

$$ x=y $$

のときである。

解説

（1） は平方完成によって「2つの平方の和」に直すのが基本である。平方の和は必ず $0$ 以上になるので、不等式と等号条件が同時に分かる。

（2） は根号を含む不等式なので、両辺の符号を確認してから2乗するのが定石である。2乗後は

$$ x+y\geqq 2\sqrt{xy} $$

という基本不等式に落ちる。これは相加平均・相乗平均の関係そのものであり、等号条件も $x=y$ とすぐに分かる。

答え

**(1)**

$$ x^2-4x+y^2+2y+5=(x-2)^2+(y+1)^2\geqq 0 $$

等号成立は

$$ x=2,\quad y=-1 $$

のときである。

**(2)**

$$ \sqrt{2(x+y)} \geqq \sqrt{x}+\sqrt{y} $$

が成り立つ。

等号成立は

$$ x=y $$

のときである。