基礎問題集
数学2 式と証明「不等式の証明」の問題21 解説
数学2の式と証明「不等式の証明」にある問題21の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
示したい不等式を移項して、左辺と右辺の差が正であることを示す。
この種の式は、差を平方の和に変形すると処理しやすい。
解法1
示すべき不等式は
$$ ab+bc+ca<a^2+b^2+c^2 $$
である。
これを右辺から左辺を引いた形で見ると、
$$ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca $$
の正負を調べればよい。
ここで、恒等式
$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 =2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $$
が成り立つから、
$$ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca =\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2} $$
となる。
平方はそれぞれ $0$ 以上であるから、
$$ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqq 0 $$
である。
さらに、条件より $a\ne b$ なので
$$ (a-b)^2>0 $$
である。したがって
$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0 $$
となり、
$$ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>0 $$
を得る。
よって、
$$ ab+bc+ca<a^2+b^2+c^2 $$
が成り立つ。
解説
この問題の要点は、差
$$ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca $$
をそのまま眺めるのではなく、平方の和に直すことである。
等号が成り立つのは $a=b=c$ のときに限られるが、今回は $a\ne b$ であるから等号は起こらず、単なる $\leqq$ ではなく厳密な不等号 $<$ が得られる。
答え
$$ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca =\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}>0 \quad (a\ne b) $$
より、
$$ ab+bc+ca<a^2+b^2+c^2 $$
が成り立つ。