解説

方針・初手

まず不等式を一方に移して因数分解する。

$$ a^4+b^3-a^3-ab^3 = a^3(a-1)-b^3(a-1) = (a-1)(a^3-b^3) = (a-1)(a-b)(a^2+ab+b^2) $$

さらに

$$ a^2+ab+b^2 = \left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2 \ge 0 $$

であり，この因子は常に $0$ 以上である。したがって，不等式の成否は主として $(a-1)(a-b)$ の符号で決まる。

解法1

（1） 任意の実数 $a$ に対して成り立つような実数 $b$ を求める。

上の因数分解より，不等式は

$$ (a-1)(a-b)(a^2+ab+b^2)\ge 0 $$

と同値である。

$b=1$ のときは

$$ (a-1)(a-b)(a^2+ab+b^2) = (a-1)^2(a^2+a+1) $$

となる。ここで

$$ a^2+a+1=\left(a+\frac12\right)^2+\frac34>0 $$

であるから，これはすべての実数 $a$ に対して $0$ 以上である。したがって $b=1$ は条件を満たす。

逆に $b\ne 1$ とする。このとき

$$ a=\frac{1+b}{2} $$

とおくと，$a$ は $1$ と $b$ のちょうど中点であるから

$$ a-1=\frac{b-1}{2},\qquad a-b=\frac{1-b}{2} $$

より

$$ (a-1)(a-b)=-\frac{(b-1)^2}{4}<0 $$

となる。一方，$a=\dfrac{1+b}{2}$ と $b\ne 1$ より $a\ne b$ であるため，

$$ a^2+ab+b^2>0 $$

である。したがって，全体として

$$ (a-1)(a-b)(a^2+ab+b^2)<0 $$

となり，不等式は成り立たない。

よって，条件を満たす実数 $b$ は

$$ b=1 $$

のみである。

（2） 任意の整数 $a$ に対して成り立つような整数 $b$ を求める。

まず必要条件を調べる。

$a=0$ を代入すると

$$ 0^4+b^3\ge 0^3+0\cdot b^3 $$

すなわち

$$ b^3\ge 0 $$

であるから

$$ b\ge 0 $$

でなければならない。

次に $a=2$ を代入すると

$$ 2^4+b^3\ge 2^3+2b^3 $$

すなわち

$$ 16+b^3\ge 8+2b^3 $$

より

$$ 8\ge b^3 $$

となるので

$$ b\le 2 $$

である。

したがって，整数 $b$ は

$$ b=0,1,2 $$

に限られる。

あとはこれらが実際に条件を満たすことを確かめればよい。

**(i)**

$b=0$ のとき

$$ a^4+b^3-a^3-ab^3=a^4-a^3=a^3(a-1) $$

となる。整数 $a$ については，$a\le 0$ または $a\ge 1$ であるから，$a^3$ と $a-1$ は同符号またはどちらかが $0$ であり，

$$ a^3(a-1)\ge 0 $$

となる。

**(ii)**

$b=1$ のとき

$$ a^4+1-a^3-a=(a-1)^2(a^2+a+1)\ge 0 $$

より成り立つ。

**(iii)**

$b=2$ のとき

$$ a^4+8-a^3-2a = (a-1)(a-2)(a^2+2a+4) $$

と因数分解できる。ここで

$$ a^2+2a+4=(a+1)^2+3>0 $$

であり，また整数 $a$ については $1<a<2$ を満たす整数は存在しないから

$$ (a-1)(a-2)\ge 0 $$

である。したがって全体も $0$ 以上となる。

以上より，条件を満たす整数 $b$ は

$$ b=0,1,2 $$

である。

解説

因数分解

$$ a^4+b^3-a^3-ab^3=(a-1)(a-b)(a^2+ab+b^2) $$

がこの問題の核心である。

実数全体で不等式を成り立たせるには，$1$ と $b$ の間に必ず実数が存在するため，2つの根が一致しなければならず，$b=1$ に限られる。

一方，整数全体で考えると，$1$ と $b$ の間に整数が存在しない場合があるため，$b=0,1,2$ が候補として残る。この「実数では中点を取れるが，整数では取れない」という違いがポイントである。

答え

**(1)**

$$ b=1 $$

**(2)**

$$ b=0,1,2 $$