解説

方針・初手

$(1)$ は、和が一定のときの積の最大値を調べる典型問題である。 $a+b=2$ を用いて $b=2-a$ としてもよいが、最も自然なのは $(a-b)^2\geqq 0$ を用いる方法である。

$(2)$ は $(1)$ の結果を使いながら、さらに $0<a<b$ という条件から $a$ と $b$ が $1$ をはさんでいることをまず確定させるのが初手である。

解法1

**(1)**

実数の平方は常に $0$ 以上であるから、

$$ (a-b)^2\geqq 0 $$

である。これを展開すると、

$$ a^2-2ab+b^2\geqq 0 $$

となる。ここで

$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=4 $$

より、

$$ a^2+b^2=4-2ab $$

である。これを上の不等式に代入すると、

$$ (4-2ab)-2ab\geqq 0 $$

すなわち

$$ 4-4ab\geqq 0 $$

となるので、

$$ ab\leqq 1 $$

が示された。

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**(2)**

条件 $0<a<b$ と $a+b=2$ より、まず $a<1<b$ を示す。

もし $a\geqq 1$ ならば、$b>a$ であるから $b>1$ となり、

$$ a+b>2 $$

となって条件 $a+b=2$ に反する。よって

$$ a<1 $$

である。したがって

$$ b=2-a>1 $$

となるので、

$$ a<1<b $$

が成り立つ。

次に $(1)$ より $ab\leqq 1$ である。さらに $a<b$ だから $a\neq b$ であり、$a+b=2$ のもとで等号 $ab=1$ が成り立つのは $a=b=1$ のときに限る。これは $a<b$ に反するので、

$$ ab<1 $$

である。

また、$b>1$ かつ $a>0$ より、

$$ ab>a $$

である。

以上をまとめると、

$$ a<ab<1<b $$

となる。

解説

$(1)$ は「和が一定のとき、積は $2$ つの数が等しいとき最大になる」という事実そのものである。今回は和が $2$ なので、最大値は $1$ になる。

$(2)$ では、ただ $(1)$ の結果を使うだけでは順序は決まらない。 $0<a<b$ と $a+b=2$ から $a<1<b$ を先に確定し、そのうえで

$$ b>1 \Rightarrow ab>a,\qquad a<b \Rightarrow ab<1 $$

を組み合わせることが重要である。

答え

$$ \text{（1）}\quad ab\leqq 1 $$

$$ \text{（2）}\quad a<ab<1<b $$