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数学2 式と証明「不等式の証明」の問題24 解説
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解説
方針・初手
$a,b,c$ は自然数であるから、
$$ 2^a\ge 2,\quad 2^b\ge 2,\quad 2^c\ge 2 $$
が成り立つ。そこで
$$ x=2^a-2,\quad y=2^b-2,\quad z=2^c-2 $$
とおくと、$x,y,z\ge 0$ である。各不等式の左辺から右辺を引き、$x,y,z$ の非負な項の和に変形すれば示せる。
解法1
**(1)**
$x=2^a-2,\ y=2^b-2$ とすると、
$$ \begin{aligned} 2^{a+b}-(2^a+2^b) &=(x+2)(y+2)-{(x+2)+(y+2)}\\ &=xy+x+y \end{aligned} $$
となる。$x,y\ge 0$ であるから、
$$ xy+x+y\ge 0 $$
である。したがって
$$ 2^{a+b}\ge 2^a+2^b $$
が成り立つ。
**(2)**
$x=2^a-2,\ y=2^b-2,\ z=2^c-2$ とすると、
$$ \begin{aligned} 2^{a+b+c}-(2^a+2^b+2^c+2) &=(x+2)(y+2)(z+2)-{(x+2)+(y+2)+(z+2)+2}\\ &=xyz+2xy+2yz+2zx+3x+3y+3z \end{aligned} $$
となる。右辺は $x,y,z\ge 0$ より非負である。よって
$$ 2^{a+b+c}\ge 2^a+2^b+2^c+2 $$
が成り立つ。
**(3)**
同様に、
$$ \begin{aligned} &2^{a+b+c}-\left(2^{a+b}+2^{b+c}+2^{c+a}-4\right)\\ &=(x+2)(y+2)(z+2)-{(x+2)(y+2)+(y+2)(z+2)+(z+2)(x+2)}+4\\ &=xyz+xy+yz+zx \end{aligned} $$
となる。右辺は $x,y,z\ge 0$ より非負であるから、
$$ 2^{a+b+c}\ge 2^{a+b}+2^{b+c}+2^{c+a}-4 $$
が成り立つ。
解説
この問題の要点は、自然数 $a,b,c$ に対して $2^a,2^b,2^c$ がいずれも $2$ 以上であることに着目し、$2^a-2,\ 2^b-2,\ 2^c-2$ と置くことである。
そうすると、示したい不等式はすべて「非負な文字 $x,y,z$ の積や和の和が $0$ 以上である」という形に直せる。指数のまま扱おうとして計算を複雑にするより、このように下限 $2$ を利用してずらすのが有効である。
答え
**(1)**
$$ 2^{a+b}\ge 2^a+2^b $$
**(2)**
$$ 2^{a+b+c}\ge 2^a+2^b+2^c+2 $$
**(3)**
$$ 2^{a+b+c}\ge 2^{a+b}+2^{b+c}+2^{c+a}-4 $$
いずれも成り立つ。