解説

方針・初手

$2^a,2^b,2^c$ は $a,b,c\geqq 0$ よりすべて $1$ 以上である。そこで

$$ x=2^a,\quad y=2^b,\quad z=2^c $$

とおくと、示すべき不等式は $x,y,z\geqq 1$ のもとでの整式不等式に直せる。

（1） は $(x-1)(y-1)\geqq 0$ に帰着する。

（2） は （1） を続けて用いる方法が最も自然である。

解法1

（1） の証明

$x=2^a,\ y=2^b$ とおくと、$a,b\geqq 0$ より

$$ x\geqq 1,\quad y\geqq 1 $$

である。

示すべき不等式

$$ 2^a+2^b\leqq 1+2^{a+b} $$

は

$$ x+y\leqq 1+xy $$

と書き直せる。

これを移項すると

$$ xy-x-y+1\geqq 0 $$

すなわち

$$ (x-1)(y-1)\geqq 0 $$

となる。

$x\geqq 1,\ y\geqq 1$ であるから、確かに $(x-1)(y-1)\geqq 0$ が成り立つ。したがって

$$ 2^a+2^b\leqq 1+2^{a+b} $$

が示された。

（2） の証明

まず （1） を $a,b$ に対して用いると

$$ 2^a+2^b\leqq 1+2^{a+b} $$

である。両辺に $2^c$ を加えると

$$ 2^a+2^b+2^c\leqq 1+2^{a+b}+2^c $$

を得る。

ここで $a+b\geqq 0,\ c\geqq 0$ なので、再び （1） を $a+b,\ c$ に対して用いれば

$$ 2^{a+b}+2^c\leqq 1+2^{a+b+c} $$

である。したがって

$$ 1+2^{a+b}+2^c\leqq 1+\left(1+2^{a+b+c}\right)=2+2^{a+b+c} $$

となる。

以上より

$$ 2^a+2^b+2^c\leqq 2+2^{a+b+c} $$

が成り立つ。

解法2

（2） の別解

$x=2^a,\ y=2^b,\ z=2^c$ とおくと、$x,y,z\geqq 1$ であり、示すべき不等式は

$$ x+y+z\leqq 2+xyz $$

である。

これを変形すると

$$ xyz-x-y-z+2\geqq 0 $$

を示せばよい。

ここで $x=(x-1)+1,\ y=(y-1)+1,\ z=(z-1)+1$ を用いて展開すると

$$ xyz-x-y-z+2 $$

$$ =(x-1)(y-1)(z-1)+(x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1) $$

となる。

$x,y,z\geqq 1$ より

$$ x-1\geqq 0,\quad y-1\geqq 0,\quad z-1\geqq 0 $$

であるから、右辺の各項はすべて $0$ 以上である。よって

$$ xyz-x-y-z+2\geqq 0 $$

が成り立ち、

$$ x+y+z\leqq 2+xyz $$

すなわち

$$ 2^a+2^b+2^c\leqq 2+2^{a+b+c} $$

が示された。

解説

この問題の本質は、$a,b,c\geqq 0$ から $2^a,2^b,2^c\geqq 1$ が言える点にある。

（1） は単に指数の形のまま扱うより、$x=2^a,\ y=2^b$ とおいて

$$ x+y\leqq 1+xy $$

に直し、さらに

$$ (x-1)(y-1)\geqq 0 $$

と見るのが基本である。

（2） は （1） を二回使うと短く処理できる。3項の不等式をいきなり展開してもよいが、すでに示した結果を利用する発想を持つと整理しやすい。

答え

**(1)**

$$ 2^a+2^b\leqq 1+2^{a+b} $$

**(2)**

$$ 2^a+2^b+2^c\leqq 2+2^{a+b+c} $$

いずれも成り立つ。