解説

方針・初手

$(1)$ は、与えられた不等式の左辺と右辺の差を直接計算すればよい。$f(x)=x^2$ では差が平方の形に整理できる。

$(2)$ は、$(1)$ を $p=q=\dfrac12$ に対して用いると

$$ \frac{x_1^2+x_2^2}{2}\ge \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2 $$

が得られるので、$x_1=a+\dfrac1a,\ x_2=b+\dfrac1b$ とおいて和 $x_1+x_2$ を評価すればよい。

解法1

**(1)**

$f(x)=x^2$ であるから、

$$ f(px_1+qx_2)=(px_1+qx_2)^2 $$

であり、また

$$ pf(x_1)+qf(x_2)=px_1^2+qx_2^2 $$

である。したがって両者の差をとると、

$$ \begin{aligned} pf(x_1)+qf(x_2)-f(px_1+qx_2) &=px_1^2+qx_2^2-(px_1+qx_2)^2\\ &=px_1^2+qx_2^2-\left(p^2x_1^2+2pqx_1x_2+q^2x_2^2\right)\\ &=p(1-p)x_1^2+q(1-q)x_2^2-2pqx_1x_2 \end{aligned} $$

ここで $p+q=1$ より $1-p=q,\ 1-q=p$ であるから、

$$ \begin{aligned} pf(x_1)+qf(x_2)-f(px_1+qx_2) &=pqx_1^2+pqx_2^2-2pqx_1x_2\\ &=pq(x_1-x_2)^2 \end{aligned} $$

となる。

$p>0,\ q>0$ より $pq>0$ であり、また $(x_1-x_2)^2\ge 0$ であるから、

$$ pq(x_1-x_2)^2\ge 0 $$

である。よって

$$ f(px_1+qx_2)\le pf(x_1)+qf(x_2) $$

が成り立つ。

**(2)**

$(1)$ で $p=q=\dfrac12$ とすると、任意の実数 $x_1,x_2$ に対して

$$ \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2\le \frac{x_1^2+x_2^2}{2} $$

すなわち

$$ x_1^2+x_2^2\ge \frac{(x_1+x_2)^2}{2} $$

が成り立つ。

ここで

$$ x_1=a+\frac1a,\qquad x_2=b+\frac1b $$

とおくと、

$$ \left(a+\frac1a\right)^2+\left(b+\frac1b\right)^2\ge \frac1{2}\left(a+b+\frac1a+\frac1b\right)^2 $$

を得る。

そこで右辺の括弧内を評価する。$a+b=1$ より

$$ \frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab}=\frac1{ab} $$

であるから、

$$ a+b+\frac1a+\frac1b=1+\frac1{ab} $$

となる。

また、$a,b>0,\ a+b=1$ なので

$$ ab\le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac14 $$

より

$$ \frac1{ab}\ge 4 $$

である。したがって

$$ a+b+\frac1a+\frac1b=1+\frac1{ab}\ge 5 $$

となる。

よって

$$ \left(a+\frac1a\right)^2+\left(b+\frac1b\right)^2 \ge \frac{1}{2}\cdot 5^2 =\frac{25}{2} $$

が成り立つ。

解説

$(1)$ は $f(x)=x^2$ が下に凸であることを、差を直接計算して示したものである。高校範囲では、抽象的に「凸関数」と言うより、差が $pq(x_1-x_2)^2$ に整理されることを見るのが確実である。

$(2)$ では、求める式が「2つの平方の和」であるため、$(1)$ を $p=q=\dfrac12$ にして

$$ x_1^2+x_2^2\ge \frac{(x_1+x_2)^2}{2} $$

の形に持ち込むのが自然である。あとは $x_1+x_2$ を評価するだけであり、そのために $a+b=1$ と $ab\le \dfrac14$ を使うのが要点である。

答え

**(1)**

$$ pf(x_1)+qf(x_2)-f(px_1+qx_2)=pq(x_1-x_2)^2\ge 0 $$

より、

$$ f(px_1+qx_2)\le pf(x_1)+qf(x_2) $$

が成り立つ。

**(2)**

$$ \left(a+\frac1a\right)^2+\left(b+\frac1b\right)^2\ge \frac{25}{2} $$

が成り立つ。