解説

方針・初手

左辺の分子には $|a+b|$ があるので、まず三角不等式

$$ |a+b|\le |a|+|b| $$

を使って左辺を上から抑える。

そのうえで、$x\mapsto \dfrac{x}{1+x}$ の形に注目し、$x=|a|,\ y=|b|$ とおいて

$$ \frac{x+y}{1+x+y}\le \frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y} $$

を示せばよい。

解法1

$x=|a|,\ y=|b|$ とおくと $x\ge 0,\ y\ge 0$ である。

三角不等式より

$$ |a+b|\le |a|+|b|=x+y $$

が成り立つ。ここで関数

$$ f(t)=\frac{t}{1+t}\qquad (t\ge 0) $$

を考えると、

$$ f'(t)=\frac{1}{(1+t)^2}>0 $$

であるから、$f(t)$ は $t\ge 0$ で単調増加である。したがって

$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} =f(|a+b|) \le f(x+y) =\frac{x+y}{1+x+y} $$

を得る。

よって、あとは

$$ \frac{x+y}{1+x+y}\le \frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y} $$

を示せば十分である。

実際、右辺から左辺を引くと

$$ \begin{aligned} \frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}-\frac{x+y}{1+x+y} &= \frac{xy(x+y+2)}{(1+x)(1+y)(1+x+y)} \end{aligned} $$

となる。

$x\ge 0,\ y\ge 0$ より、右辺は $0$ 以上である。したがって

$$ \frac{x+y}{1+x+y}\le \frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y} $$

が成り立つ。

以上より

$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \le \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $$

が示された。

次に等号成立条件を調べる。

等号が成り立つためには、途中の

$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|}\le \frac{x+y}{1+x+y} $$

および

$$ \frac{x+y}{1+x+y}\le \frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y} $$

の両方で等号が成り立たねばならない。

後者で等号が成り立つ条件は

$$ \frac{xy(x+y+2)}{(1+x)(1+y)(1+x+y)}=0 $$

より

$$ xy=0 $$

すなわち

$$ x=0 \quad \text{または} \quad y=0 $$

である。これは

$$ |a|=0 \quad \text{または} \quad |b|=0 $$

すなわち

$$ a=0 \quad \text{または} \quad b=0 $$

と同値である。

実際、$a=0$ または $b=0$ のときは元の不等式で明らかに等号が成り立つ。

よって、等号成立条件は

$$ a=0 \quad \text{または} \quad b=0 $$

である。

解説

この問題の要点は、左辺の $|a+b|$ をそのまま扱わず、まず三角不等式で $|a|+|b|$ に置き換えることである。

その後は

$$ \frac{t}{1+t} $$

という関数の単調性と、差を取ったときに非負であることを確認すればよい。等号条件も、その差が $0$ になる条件を丁寧に追えば簡潔に決まる。

答え

$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \le \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $$

が成り立つ。

また、等号成立条件は

$$ a=0 \quad \text{または} \quad b=0 $$

である。