解説

方針・初手

与えられた条件

$$ ab\geqq 1+a+b $$

をそのまま扱うよりも、両辺を整理して

$$ ab-a-b+1\geqq 2 $$

すなわち

$$ (a-1)(b-1)\geqq 2 $$

と見るのが自然である。 すると $a+b$ は $(a-1)+(b-1)$ の形で評価でき、相加平均・相乗平均の不等式が使える。

解法1

条件 $ab\geqq 1+a+b$ を変形すると

$$ ab-a-b+1\geqq 2 $$

より

$$ (a-1)(b-1)\geqq 2 $$

を得る。

ここで $a,b$ は正の実数であり、上の不等式の左辺が正であるから、$a-1,\ b-1$ は同符号である。 しかし $a<1,\ b<1$ であれば $ab<1<1+a+b$ となって条件 $ab\geqq 1+a+b$ に反する。 したがって

$$ a>1,\quad b>1 $$

である。

よって $a-1>0,\ b-1>0$ だから、相加平均・相乗平均の不等式より

$$ (a-1)+(b-1)\geqq 2\sqrt{(a-1)(b-1)} $$

である。さらに $(a-1)(b-1)\geqq 2$ なので

$$ (a-1)+(b-1)\geqq 2\sqrt{2} $$

となる。したがって

$$ a+b=\bigl((a-1)+(b-1)\bigr)+2\geqq 2\sqrt{2}+2=2(1+\sqrt{2}) $$

であり、（1） が示された。

次に等号成立条件を調べる。

上の議論で等号が成り立つためには、

**(i)**

$$ (a-1)+(b-1)=2\sqrt{(a-1)(b-1)} $$

となること、

**(ii)**

$$ (a-1)(b-1)=2 $$

となること

が同時に必要十分である。

（i） の等号条件は

$$ a-1=b-1 $$

すなわち

$$ a=b $$

である。これと （ii） を合わせると

$$ (a-1)^2=2 $$

となる。しかも $a>1$ であるから

$$ a-1=\sqrt{2} $$

よって

$$ a=b=1+\sqrt{2} $$

を得る。

したがって、（2） の必要十分条件は

$$ a=b=1+\sqrt{2} $$

である。

解法2

$a+b=s,\ ab=p$ とおく。

すると条件より

$$ p\geqq s+1 $$

である。一方、相加平均・相乗平均の不等式より

$$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\geqq ab $$

すなわち

$$ \frac{s^2}{4}\geqq p $$

である。よって

$$ \frac{s^2}{4}\geqq p\geqq s+1 $$

から

$$ \frac{s^2}{4}\geqq s+1 $$

となる。これを整理すると

$$ s^2-4s-4\geqq 0 $$

すなわち

$$ (s-2)^2\geqq 8 $$

であるから

$$ s\geqq 2+2\sqrt{2}\quad \text{または}\quad s\leqq 2-2\sqrt{2} $$

を得る。

しかし $a,b>0$ より $s=a+b>0$ であり、$2-2\sqrt{2}<0$ だから

$$ s\geqq 2+2\sqrt{2}=2(1+\sqrt{2}) $$

である。すなわち

$$ a+b\geqq 2(1+\sqrt{2}) $$

が示された。

等号成立には、途中の二つの不等式でともに等号が成り立つことが必要十分である。すなわち

$$ p=s+1 $$

かつ

$$ \frac{s^2}{4}=p $$

である。

後者の等号条件は $a=b$ である。これを前者と合わせると、$a=b=t$ として

$$ t^2=1+2t $$

すなわち

$$ t^2-2t-1=0 $$

となるから

$$ t=1\pm \sqrt{2} $$

を得る。$t>0$ かつ $ab\geqq 1+a+b$ を満たすには $t>1$ でなければならないので

$$ t=1+\sqrt{2} $$

である。したがって

$$ a=b=1+\sqrt{2} $$

が等号成立条件である。

解説

この問題の本質は、条件 $ab\geqq 1+a+b$ を

$$ (a-1)(b-1)\geqq 2 $$

と見直すことである。こうすると、求めたい $a+b$ が

$$ (a-1)+(b-1)+2 $$

となり、相加平均・相乗平均の不等式にすぐつながる。

また、$a+b$ と $ab$ をそれぞれ $s,\ p$ とおく解法も典型である。 この方法では

$$ ab\leqq \frac{(a+b)^2}{4} $$

という基本不等式から、和 $a+b$ の下限を直接求められる。

等号条件は、不等式を複数回使ったときに「どの段階でも等号が必要」であることを丁寧に確認するのが重要である。

答え

**(1)**

$$ a+b\geqq 2(1+\sqrt{2}) $$

**(2)**

等号成立の必要十分条件は

$$ a=b=1+\sqrt{2} $$

である。