解説

方針・初手

それぞれの関数について

$$ f\left(\frac{x+y}{2}\right) \quad \text{と} \quad \frac{f(x)+f(y)}{2} $$

を直接変形して比較する。

（1） は相加平均・相乗平均の関係をそのまま使う。

（2） は対数の性質を用いて中身の比較に直し，さらに相加平均・相乗平均の関係を使う。ただし，対数関数は底 $a$ の範囲によって増減が変わるので，そこで場合分けが必要である。

（3） は加法定理

$$ \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $$

を用いるのが最短である。

解法1

**(1)**

$f(x)=\dfrac{a^x+a^{-x}}{2}\ \ (a>0)$ のとき

まず

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{x+y}{2}\right) &= \frac{a^{(x+y)/2}+a^{-(x+y)/2}}{2} \end{aligned} $$

であり，

$$ \begin{aligned} \frac{f(x)+f(y)}{2} &= \frac{1}{4}\left(a^x+a^{-x}+a^y+a^{-y}\right) \end{aligned} $$

である。

ここで，相加平均・相乗平均の関係より

$$ a^x+a^y \ge 2a^{(x+y)/2}, \qquad a^{-x}+a^{-y} \ge 2a^{-(x+y)/2} $$

が成り立つ。これらを加えると

$$ a^x+a^{-x}+a^y+a^{-y} \ge 2a^{(x+y)/2}+2a^{-(x+y)/2} $$

となるから，両辺を $4$ で割って

$$ \frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f\left(\frac{x+y}{2}\right) $$

を得る。

したがって，

$$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le \frac{f(x)+f(y)}{2} $$

である。

等号成立は，上の 2 つの相加平均・相乗平均の等号条件より，$a^x=a^y$，すなわち $a\ne 1$ のときは $x=y$ である。なお $a=1$ なら $f(x)\equiv 1$ なので常に等号が成り立つ。

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**(2)**

$f(x)=\log_a x\ \ (x>0,\ a>0,\ a\ne 1)$ のとき

まず

$$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\log_a\frac{x+y}{2} $$

であり，

$$ \begin{aligned} \frac{f(x)+f(y)}{2} &= \frac{\log_a x+\log_a y}{2} \\ &=\frac{1}{2}\log_a(xy) \\ &=\log_a\sqrt{xy} \end{aligned} $$

である。

よって，比較すべきものは

$$ \log_a\frac{x+y}{2} \quad \text{と} \quad \log_a\sqrt{xy} $$

である。

ここで，相加平均・相乗平均の関係より

$$ \frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy} $$

が成り立つ。

したがって，対数関数の単調性から次のように分かれる。

**(i)**

$a>1$ のとき，$\log_a t$ は増加関数であるから

$$ \log_a\frac{x+y}{2}\ge \log_a\sqrt{xy} $$

すなわち

$$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\ge \frac{f(x)+f(y)}{2} $$

である。

**(ii)**

$0<a<1$ のとき，$\log_a t$ は減少関数であるから

$$ \log_a\frac{x+y}{2}\le \log_a\sqrt{xy} $$

すなわち

$$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le \frac{f(x)+f(y)}{2} $$

である。

等号成立は，$\dfrac{x+y}{2}=\sqrt{xy}$ のとき，すなわち $x=y$ のときである。

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**(3)**

$f(x)=\sin x\ \ (0^\circ\le x,y\le 180^\circ)$ のとき

加法定理より

$$ \begin{aligned} \sin x+\sin y &= 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \frac{f(x)+f(y)}{2} &= \frac{\sin x+\sin y}{2} \\ \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \end{aligned} $$

となる。

一方，

$$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\sin\frac{x+y}{2} $$

である。

ここで，

$$ 0^\circ\le \frac{x+y}{2}\le 180^\circ $$

より

$$ \sin\frac{x+y}{2}\ge 0 $$

であり，また

$$ -90^\circ\le \frac{x-y}{2}\le 90^\circ $$

より

$$ 0\le \cos\frac{x-y}{2}\le 1 $$

である。したがって

$$ \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \le \sin\frac{x+y}{2} $$

となるので，

$$ \frac{f(x)+f(y)}{2} \le f\left(\frac{x+y}{2}\right) $$

すなわち

$$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\ge \frac{f(x)+f(y)}{2} $$

である。

等号成立は $\cos\dfrac{x-y}{2}=1$ のとき，すなわち $x=y$ のときである。

解説

この問題は，各関数が「上に凸か下に凸か」を具体的な変形で見抜く問題である。

（1） の $\dfrac{a^x+a^{-x}}{2}$ は指数関数の和であり，中点の値が両端の平均以下になる。したがって下に凸の形になる。

（2） の $\log_a x$ は，底が $a>1$ なら上に凸，$0<a<1$ なら下に凸の向きになる。ここでは微分を使わず，対数の単調性と相加平均・相乗平均だけで処理できるのが要点である。

（3） の $\sin x$ は区間 $[0^\circ,180^\circ]$ では山形になっており，中点の値が両端の平均以上になる。加法定理を使うと，大小関係が $\cos\dfrac{x-y}{2}\le 1$ に帰着するので非常に見通しがよい。

答え

**(1)**

$$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le \frac{f(x)+f(y)}{2} $$

等号は $a\ne 1$ なら $x=y$ のとき，$a=1$ なら常に成り立つ。

**(2)**

$a>1$ のとき

$$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\ge \frac{f(x)+f(y)}{2} $$

$0<a<1$ のとき

$$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le \frac{f(x)+f(y)}{2} $$

等号はいずれも $x=y$ のときである。

**(3)**

$$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\ge \frac{f(x)+f(y)}{2} $$

等号は $x=y$ のときである。