解説

方針・初手

与式

$$ x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx) $$

は、$k$ の値によって

• $(x+y+z)^2$
• $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$

のいずれか、またはその和に変形すると非負性が見やすくなる。

したがって、まず $k=2,\ -1$ の両端の値で基本形に直し、その後 $-1<k<2$ ではそれらの正の係数付き和として表す。

解法1

与式を

$$ E=x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx) $$

とおく。

（1） $k=2$ のとき

このとき

$$ E=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2 $$

である。

平方は常に $0$ 以上であるから、

$$ E\geqq 0 $$

が成り立つ。

また、等号成立は

$$ (x+y+z)^2=0 $$

すなわち

$$ x+y+z=0 $$

のときである。

（2） $k=-1$ のとき

このとき

$$ E=x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx) $$

である。ここで

$$ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 =2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) $$

であるから、

$$ E=\frac12\bigl((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\bigr) $$

と書ける。

右辺は平方の和であるから、

$$ E\geqq 0 $$

が成り立つ。

また、等号成立は

$$ x-y=0,\quad y-z=0,\quad z-x=0 $$

すなわち

$$ x=y=z $$

のときである。

（3） $-1<k<2$ のとき

（1） と （2） の形を利用して、$E$ を

$$ E=a(x+y+z)^2+b\bigl(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\bigr) $$

と表すことを考える。

右辺を展開すると

$$ a(x+y+z)^2+b(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) $$

$$ =(a+b)(x^2+y^2+z^2)+(2a-b)(xy+yz+zx) $$

となる。これが

$$ x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx) $$

に一致するためには

$$ a+b=1,\qquad 2a-b=k $$

であればよい。これを解くと

$$ a=\frac{k+1}{3},\qquad b=\frac{2-k}{3} $$

を得る。

したがって

$$ E=\frac{k+1}{3}(x+y+z)^2+\frac{2-k}{3}(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) $$

である。さらに （2） の結果を用いれば

$$ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx =\frac12\bigl((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\bigr) $$

であるから、

$$ E=\frac{k+1}{3}(x+y+z)^2+\frac{2-k}{6}\bigl((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\bigr) $$

と書ける。

ここで $-1<k<2$ より

$$ \frac{k+1}{3}>0,\qquad \frac{2-k}{6}>0 $$

である。よって右辺は非負な量の正の係数付き和であるから、

$$ E\geqq 0 $$

が成り立つ。

また、等号が成り立つには両方の平方和がともに $0$ でなければならない。したがって

$$ x+y+z=0,\qquad x-y=0,\qquad y-z=0 $$

が必要であり、これより

$$ x=y=z=0 $$

である。

逆に $x=y=z=0$ なら明らかに等号は成り立つ。

解説

この問題の要点は、与式をそのまま扱わず、$k=2$ と $k=-1$ で現れる二つの基本的な非負形に分解することである。

• $k=2$ では $(x+y+z)^2$
• $k=-1$ では $\dfrac12{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}$

となる。

そして $-1<k<2$ では、それらを正の係数で線形結合できるため、非負性がただちに従う。等号条件も、平方がすべて $0$ になる条件を丁寧に追えばよい。

答え

**(1)**

$k=2$ のとき

$$ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2\geqq 0 $$

であり、等号成立は

$$ x+y+z=0 $$

のときである。

**(2)**

$k=-1$ のとき

$$ x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx) =\frac12\bigl((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\bigr)\geqq 0 $$

であり、等号成立は

$$ x=y=z $$

のときである。

**(3)**

$-1<k<2$ のとき

$$ x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx) =\frac{k+1}{3}(x+y+z)^2+\frac{2-k}{6}\bigl((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\bigr)\geqq 0 $$

である。

また、このときの等号成立は

$$ x=y=z=0 $$

のときに限る。