解説

方針・初手

$(x,\ \frac12,\ \frac1x)$ の3項から5個を選んで掛け合わせたとき、できる項の $x$ の指数に注目する。

$x^3$ の項が現れるのは、$x$ を何個、$\frac1x$ を何個、$\frac12$ を何個選ぶかが条件を満たす場合だけである。したがって、多項定理の考え方で場合を絞ればよい。

解法1

$(x+\frac12+\frac1x)^5$ を展開したとき、$x$ を $a$ 個、$\frac12$ を $b$ 個、$\frac1x$ を $c$ 個選ぶとする。

このとき

$$ a+b+c=5 $$

であり、できる項の $x$ の指数は

$$ a-c $$

である。

いま $x^3$ の係数を求めたいので、

$$ a-c=3 $$

を満たす必要がある。

したがって

$$ a=c+3 $$

であり、これを $a+b+c=5$ に代入すると

$$ (c+3)+b+c=5 $$

$$ b+2c=2 $$

となる。

これを満たす非負整数解は次の2通りである。

**(i)**

$c=0,\ b=2,\ a=3$

このときの項の係数は

$$ \frac{5!}{3!2!0!}\left(\frac12\right)^2 =10\cdot\frac14 =\frac52 $$

である。

**(ii)**

$c=1,\ b=0,\ a=4$

このときの項の係数は

$$ \frac{5!}{4!0!1!}\left(\frac12\right)^0 =5 $$

である。

よって、求める $x^3$ の係数は

$$ \frac52+5=\frac{15}{2} $$

となる。

解説

この問題では、展開を実際に最後まで行う必要はない。各項が $x,\ \frac12,\ \frac1x$ のどれから作られるかを数え、指数条件 $a-c=3$ を立てるのが本質である。

受験で詰まりやすいのは、係数だけでなく「指数条件」を先に整理しないことである。まず $x$ の個数と $\frac1x$ の個数の差を見る、という方針を持つと処理が速い。

答え

求める $x^3$ の係数は

$$ \frac{15}{2} $$

である。