解説

方針・初手

$(a+b+\frac1a+\frac1b)^7$ の各項は、$a,b,\frac1a,\frac1b$ をそれぞれ何回ずつ選ぶかで決まる。

したがって、$a b^2$ ができるように 「$a$ の指数が $1$、$b$ の指数が $2$ になる条件」 を満たす選び方を立式し、多項定理の係数で数え上げればよい。

解法1

$ a $ を $x$ 回、$ b $ を $y$ 回、$\dfrac1a$ を $z$ 回、$\dfrac1b$ を $w$ 回選ぶとする。

このとき

$$ x+y+z+w=7 $$

であり、できる項は

$$ a^{x-z}b^{y-w} $$

である。

これが $ab^2$ になるためには

$$ x-z=1,\qquad y-w=2 $$

を満たせばよい。

ここで

$$ x=z+1,\qquad y=w+2 $$

だから、これを $x+y+z+w=7$ に代入すると

$$ (z+1)+(w+2)+z+w=7 $$

$$ 2z+2w+3=7 $$

$$ z+w=2 $$

となる。

したがって、$(z,w)$ の組は

$$ (0,2),\ (1,1),\ (2,0) $$

の3通りである。

それぞれについて $(x,y,z,w)$ を求めると、

**(i)**

$(z,w)=(0,2)$ のとき

$$ (x,y,z,w)=(1,4,0,2) $$

このときの係数は

$$ \frac{7!}{1!4!0!2!}=105 $$

**(ii)**

$(z,w)=(1,1)$ のとき

$$ (x,y,z,w)=(2,3,1,1) $$

このときの係数は

$$ \frac{7!}{2!3!1!1!}=420 $$

**(iii)**

$(z,w)=(2,0)$ のとき

$$ (x,y,z,w)=(3,2,2,0) $$

このときの係数は

$$ \frac{7!}{3!2!2!0!}=210 $$

よって、求める係数は

$$ 105+420+210=735 $$

である。

解説

この問題では、展開して直接探すのではなく、各文字を何回選ぶかを変数で置くのが基本方針である。

$\dfrac1a,\dfrac1b$ が含まれているので、指数は「選んだ回数そのもの」ではなく、$a$ なら $x-z$、$b$ なら $y-w$ になる点が重要である。そこを正しく式に落とせれば、あとは場合分けと多項係数の計算だけで処理できる。

答え

係数は

$$ 735 $$

である。