解説

方針・初手

$x^6$ の項を作るには、5個の因子 $(3x^2+x-2)$ から

• $3x^2$ を $a$ 回
• $x$ を $b$ 回
• $-2$ を $c$ 回

選ぶと考えるのが自然である。

このとき、因子の総数と $x$ の次数から

$$ a+b+c=5,\qquad 2a+b=6 $$

を満たす整数解を調べればよい。

解法1

$(3x^2+x-2)^5$ の展開において、$3x^2$ を $a$ 回、$x$ を $b$ 回、$-2$ を $c$ 回選ぶと、その項は

$$ \frac{5!}{a!b!c!}(3x^2)^a x^b (-2)^c $$

である。

$x^6$ の項になる条件は

$$ a+b+c=5,\qquad 2a+b=6 $$

である。

$2a+b=6$ より $b=6-2a$ であり、これを $a+b+c=5$ に代入すると

$$ c=5-a-b=5-a-(6-2a)=a-1 $$

となる。

したがって $b,c\geqq 0$ を満たす $a$ を調べればよく、

$$ a=1,2,3 $$

の3通りである。対応する $(a,b,c)$ は

$$ (1,4,0),\quad (2,2,1),\quad (3,0,2) $$

である。

それぞれの寄与を求める。

**(i)**

$(a,b,c)=(1,4,0)$ のとき

$$ \frac{5!}{1!4!0!}\cdot 3^1\cdot (-2)^0 =5\cdot 3=15 $$

**(ii)**

$(a,b,c)=(2,2,1)$ のとき

$$ \frac{5!}{2!2!1!}\cdot 3^2\cdot (-2)^1 =30\cdot 9\cdot (-2)=-540 $$

**(iii)**

$(a,b,c)=(3,0,2)$ のとき

$$ \frac{5!}{3!0!2!}\cdot 3^3\cdot (-2)^2 =10\cdot 27\cdot 4=1080 $$

よって、求める係数は

$$ 15-540+1080=555 $$

である。

解説

この問題の要点は、二項定理ではなく多項式の展開として処理することである。

$x^6$ を作るには、$3x^2$ と $x$ を何回選ぶかが本質であり、次数条件

$$ 2a+b=6 $$

と、5個の因子から選ぶという条件

$$ a+b+c=5 $$

を同時に満たす組を漏れなく拾うことが重要である。

答え

係数は

$$ 555 $$

である。