解説

方針・初手

各因子 $x^2,\ x,\ -\dfrac{1}{x}$ をそれぞれ何回ずつ選ぶかを決めれば、できる項の次数が分かる。したがって、多項定理の拡張版である多項定理を用いて、$x^5$ が生じる場合をすべて数え上げればよい。

解法1

$$ \left(x^2+x-\frac{1}{x}\right)^7 $$

を展開するとき、$x^2$ を $a$ 回、$x$ を $b$ 回、$-\dfrac{1}{x}$ を $c$ 回選んだとする。

このとき

$$ a+b+c=7 $$

であり、できる項は

$$ \begin{aligned} \frac{7!}{a!b!c!}(x^2)^a x^b \left(-\frac{1}{x}\right)^c &= \frac{7!}{a!b!c!}(-1)^c x^{2a+b-c} \end{aligned} $$

となる。

したがって、$x^5$ の項が現れるための条件は

$$ 2a+b-c=5 $$

である。ここで $c=7-a-b$ を代入すると、

$$ 2a+b-(7-a-b)=5 $$

より

$$ 3a+2b=12 $$

を得る。

これを満たす非負整数解を求める。

**(i)**

$a=0$ のとき

$$ 2b=12 \quad \Rightarrow \quad b=6 $$

このとき

$$ c=7-0-6=1 $$

である。

**(ii)**

$a=2$ のとき

$$ 6+2b=12 \quad \Rightarrow \quad b=3 $$

このとき

$$ c=7-2-3=2 $$

である。

**(iii)**

$a=4$ のとき

$$ 12+2b=12 \quad \Rightarrow \quad b=0 $$

このとき

$$ c=7-4-0=3 $$

である。

よって、$x^5$ の係数はそれぞれの寄与の和として

$$ \frac{7!}{0!6!1!}(-1)^1+\frac{7!}{2!3!2!}(-1)^2+\frac{7!}{4!0!3!}(-1)^3 $$

である。

これを計算すると

$$ -7+210-35=168 $$

となる。

解説

この問題では、展開後の次数がどのように決まるかを正確に追うことが核心である。$x^2,\ x,\ -\dfrac{1}{x}$ を何回ずつ選ぶかを $a,b,c$ と置けば、次数条件が一次不定方程式に落ちるので、あとは非負整数解を漏れなく調べればよい。

符号は $-\dfrac{1}{x}$ を選んだ回数 $c$ によって $(-1)^c$ で決まるので、最後に符号を落とさないことが重要である。

答え

$x^5$ の係数は

$$ 168 $$

である。