基礎問題集
数学2 式と証明「多項式の割り算」の問題1 解説
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解説
方針・初手
割る式は
$$ x^2-2x+1=(x-1)^2 $$
である。
したがって、整式
$$ f(x)=x^4+ax^3+ax^2+bx-6 $$
が $(x-1)^2$ で割り切れるための条件は、$x=1$ が $f(x)$ の重解になることである。ゆえに
$$ f(1)=0,\quad f'(1)=0 $$
を用いて $a,b$ を求めればよい。
解法1
$f(x)$ が $(x-1)^2$ で割り切れるので、
$$ f(1)=0 $$
である。実際に代入すると、
$$ f(1)=1+a+a+b-6=2a+b-5 $$
より、
$$ 2a+b-5=0 $$
を得る。
次に、$(x-1)^2$ を因数にもつので、$x=1$ は重解である。したがって
$$ f'(1)=0 $$
も成り立つ。
$f'(x)$ を求めると、
$$ f'(x)=4x^3+3ax^2+2ax+b $$
であるから、
$$ f'(1)=4+3a+2a+b=4+5a+b $$
より、
$$ 4+5a+b=0 $$
を得る。
以上より、$a,b$ は
$$ \begin{cases} 2a+b=5 \\ 5a+b=-4 \end{cases} $$
を満たす。
2式を引くと、
$$ 3a=-9 $$
となるので、
$$ a=-3 $$
である。
これを $2a+b=5$ に代入すると、
$$ 2(-3)+b=5 $$
より、
$$ b=11 $$
となる。
解説
$(x-1)^2$ で割り切れるという条件は、単に $x=1$ を代入して $0$ になるだけでは足りない。重解であることまで使って、さらに $f'(1)=0$ を課すのが要点である。
この「$(x-\alpha)^2$ で割り切れるなら $f(\alpha)=0,\ f'(\alpha)=0$」という処理は頻出である。
答え
$$ a=-3,\quad b=11 $$